Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

90
Ðàññìîòðèì òåïåðü êàê âåä¸ò ñåáÿ ðàäèóñ-âåêòîð
OMr =
r
ïðè
ïîâîðîòå ÏÑÊ íà óãîë
ϕ
(ðèñ. 4.16). Â ñèëó èíâàðèàíòíîñòè âåêòî-
ðà èìååì:
( ) ( )
()()
.cossinsincos
cossinsincos
jyxiyx
jiyjixjyixiyixr
rr
rrrrrrrr
r
ϕ
′
+ϕ
′
+ϕ
′
−ϕ
′
=
=ϕ+ϕ−
′
+ϕ+ϕ
′
=
′′
+
′′
=+=
Ñðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè áàçèñíûõ âåêòîðàõ ïîëó÷èì:
ϕ
′
−ϕ
′
= sincos yxx
,
ϕ
′
+ϕ
′
= cossin yxy
. (4.25)
 ìàòðè÷íîé ôîðìå ýòè ðàâåíñòâà çàïèøóòñÿ òàê:
′
′
⋅
ϕϕ
ϕ−ϕ
=
y
x
y
x
cossin
sincos
èëè
rAr
T
′
⋅=
. (4.26)
Çäåñü
=
y
x
r
è
′
′
=
′
y
x
r
êîîðäèíàòû ðàäèóñ-âåêòîðà
OMr =
r
äî
è ïîñëå ïîâîðîòà ÏÑÊ íà óãîë
ϕ
.
Îáúåäèíÿÿ ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ è ïîâîðîò ìû ìîæåì èç
ôîðìóë (4.17) è (4.26) ñîñòàâèòü îáùóþ ôîðìóëó:
α+ϕ
′
−ϕ
′
= sincos yxx
,
β+ϕ
′
+ϕ
′
= cossin yxy
. (4.27)
x
x
′
y
y
′
M
Ðèñ. 4.16.
90


                                   y                 M


                                                         x′
                           y′

                                                 x
                                        Ðèñ. 4.16.
                                                                    r
     Ðàññìîòðèì òåïåðü êàê âåä¸ò ñåáÿ ðàäèóñ-âåêòîð r = OM ïðè
ïîâîðîòå ÏÑÊ íà óãîë ϕ (ðèñ. 4.16). Â ñèëó èíâàðèàíòíîñòè âåêòî-
ðà èìååì:
        r    r     r      r             r         r               r        r
   r
                                    (                    ) (              )
   r = xi + yi = x′i′ + y′j ′ = x′ cos ϕi + sin ϕj + y′ − sin ϕi + cos ϕj =
                                                    r                        r
                             = (x′ cos ϕ − y′ sin ϕ)i + (x′ sin ϕ + y′ cos ϕ) j .
      Ñðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè áàçèñíûõ âåêòîðàõ ïîëó÷èì:
                 x = x′ cos ϕ − y′ sin ϕ ,
                 y = x′ sin ϕ + y′ cos ϕ .                              (4.25)
       ìàòðè÷íîé ôîðìå ýòè ðàâåíñòâà çàïèøóòñÿ òàê:
                          x   cos ϕ − sin ϕ   x′ 
                           =              ⋅  
                          y   sin ϕ cos ϕ   y′ 
èëè
                                r = AT ⋅ r′ .                          (4.26)

           x           x′                          r
Çäåñü r =   è r′ =   êîîðäèíàòû ðàäèóñ-âåêòîðà r = OM äî
           y           y′ 
è ïîñëå ïîâîðîòà ÏÑÊ íà óãîë ϕ .
     Îáúåäèíÿÿ ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ è ïîâîðîò ìû ìîæåì èç
ôîðìóë (4.17) è (4.26) ñîñòàâèòü îáùóþ ôîðìóëó:
              x = x′ cos ϕ − y′ sin ϕ + α ,
               y = x′ sin ϕ + y′ cos ϕ + β .                           (4.27)

Страницы