Комплексные числа. Кирсанов А.А. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

10
(
)
ixbyaybxaiba
222211
+
+
−
=
+
,
что равносильно системе уравнений
=+
=−
.
,
122
122
byaxb
aybxa
(*)
Умножив первое равенство (*) на
2
a
, а втрое - на
2
b
и сло-
жив их, получим:
(
)
(
)
( )
.
2121
2
2
2
2
22
2
222
2
2222222
bbaaxba
ybaxbybaxabyaxbaybxa
+=+=
=++−=++−
Откуда
2
2
2
2
2121
ba
bbaa
x
+
+
=
.
Умножив первое равенство (*) на
2
b
, а втрое - на
2
a
и выч-
тя их, получим:
(
)
(
)
( )
.
2121
2
2
2
2
2
222
2
222222222
abbayba
yaxbaybxbaayaxbbybxa
−=−−
=−−−=+−−
Откуда
2
2
2
2
2121
ba
baab
y
+
−
=
.
Окончательно
i
ba
baab
ba
bbaa
z
z
z
2
2
2
2
2121
2
2
2
2
2121
2
1
+
−
+
+
+
==
. (3)
Для каждого комплексного числа
ibiaz 00
+
≠
+
=
опреде-
лим обратное ему число
1−
z
, такое, что
101
1
=+=⋅
−
izz
.
Используя (3) мы можем записать
i
ba
b
ba
a
bia
i
z
z
2222
1
011
+
−
+
=
+
+
==
−
. (4)
PDF создан незарегистрированной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
                    a1 + b1i = a2 x − b2 y + (a2 y + b2 x ) i ,
   что равносильно системе уравнений
                               a2 x − b2 y = a1 ,
                                                                              (*)
                               b2 x + a2 y = b1 .
       Умножив первое равенство (*) на a2 , а втрое - на b2 и сло-
   жив их, получим:
         (a2 x − b2 y )a2 + (b2 x + a2 y )b2 = a22 x − a2b2 y + b22 x + a 2b2 y =
           (             )
         = a22 + b22 x = a1 a2 + b1b2 .
         О т к уда
                                              a1a 2 + b1b2
                                         x=                .
                                                a22 + b22
       Умножив первое равенство (*) на b2 , а втрое - на a2 и выч-
   тя их, получим:
         (a2 x − b2 y )b2 − (b2 x + a2 y )a2 = a2b2 x − b22 y − a2b2 x − a22 y =
         (− a   2
                2        )
                    − b22 y = a1b2 − b1a2 .
         О т к уда
                                              b1 a2 − a1b2
                                         y=
                                                a22 + b22 .
         Окончательно
                             z1 a1a2 + b1b2 b1 a2 − a1b2
                      z=        =           +            i.                    (3)
                             z2   a22 + b22   a22 + b22
       Для каждого комплексного числа z = a + bi ≠ 0 + 0i опреде-
   лим обратное ему число z −1 , такое, что z ⋅ z −1 = 1 + 0i = 1 .
       Используя (3) мы можем записать
                               1 1 + 0i     a       b
                      z −1 =    =       = 2     − 2     i.                     (4)
                               z a + bi a + b 2
                                                 a + b2

                                                 10



PDF создан незарегистрированной версией pdfFactory Pro www.pdffact

Страницы