Комплексные числа. Кирсанов А.А. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

22
12. Извлечение корней из комплексных чисел
Предположим, что корень степени
n
из комплексного числа
(
)
iirz 00sincos
+
≠
ϕ
+
ϕ
=
существует и равен
(
)
θ
+
θ
ρ
sincos i
.
Тогда
(
)
[
]
(
)
ϕ+ϕ=θ+θρ sincossincos iri
n
.
Используя формулу Муавра, получим
(
)
[
]
(
)
(
)
ϕ+ϕ=θ+θρ=θ+θρ sincossincossincos irnini
n
n
.
Модули двух равных комплексных чисел, отличных от
нуля, равны, а аргументы могут отличаться на угол крат-
ный
π
2
. Тогда
r
n
=ρ
,
π
+
ϕ
=
θ
kn 2
или
n
r=ρ
,
n
kπ+ϕ
=θ
2
,
где
k
- любое целое число. В частности при:
0
=
k
n
ϕ
=θ
;
1
=
k
n
n
π
+
ϕ
=θ
2
;
2
=
k
n
n
π
+
ϕ
=θ
4
;
..............................................;
1
−
=
nk
(
)
n
n
n
π
−
+
ϕ
=θ
12
.
При
(
)
(
)
2 ,1 ,
+
±
+
±
±
=
nnnk
и т.д. будут получаться значе-
ния
θ
, отличающиеся от написанных выше на углы, кратные
π
2
и никаких новых комплексных чисел эти значения
k
дать
PDF создан незарегистрированной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
            12. Извлечение корней из комплексных чисел

         Предположим, что корень степени n из комплексного числа
     z = r (cos ϕ + i sin ϕ) ≠ 0 + 0i существует и равен ρ(cos θ + i sin θ) .
         Тогда
                           [ρ(cos θ + i sin θ)]n = r (cos ϕ + i sin ϕ) .
         Используя формулу Муавра, получим
           [ρ(cos θ + i sin θ)]n = ρn (cos nθ + i sin nθ) = r (cos ϕ + i sin ϕ) .
       Модули двух равных комплексных чисел, отличных от
   нуля, равны, а аргументы могут отличаться на угол крат-
   ный 2π . Тогда
                                      ρ n = r , nθ = ϕ + 2kπ
   или
                                   ϕ + 2kπ
                                      ρ=n r , θ=
                                           ,
                                      n
   где k - любое целое число. В частности при:
                                   ϕ
         k =0                θ=      ;
                                   n
                                   ϕ 2π
         k =1                θ=     +   ;
                                   n n
                                    ϕ 4π
         k =2                θ=        +       ;
                                    n n
         ..............................................;
                                   ϕ 2(n − 1)π
         k = n −1            θ=      +         .
                                   n     n
         При k = ± n, ± (n + 1), ± (n + 2 ) и т.д. будут получаться значе-
   ния θ , отличающиеся от написанных выше на углы, кратные
   2π и никаких новых комплексных чисел эти значения k дать

                                                    22



PDF создан незарегистрированной версией pdfFactory Pro www.pdffact

Страницы