Комплексные числа. Кирсанов А.А. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

23
не могут. Таким образом каждое комплексное число, отличное от
нуля, имеет ровно
n
корней
n
-й степени.
Итак, если только корень
n
-й степени из комплексного чис-
ла
(
)
ϕ
+
ϕ
=
sincos irz
существует, то он может принимать лишь
следующие
n
значений:
ϕ
+
ϕ
=
n
i
n
ra
n
sincos
0
;
π+ϕ
+
π+ϕ
=
n
i
n
ra
n
2
sin
2
cos
1
;
.....................................................;
(
)
(
)
π−+ϕ
+
π−+ϕ
=
−
n
n
i
n
n
ra
n
n
12
sin
12
cos
1
.
Геометрически все
n
значений корня
n
-й степени из комп-
лексного числа
(
)
ϕ
+
ϕ
=
sincos irz
изображаются точками, ле-
жащими на окружности с центром в начале координат, радиус
которой равен
n
r
.
Пример
1. Найти все значения корня 4-й степени из
i
.
2
sin
2
cos
π
+
π
= ii
.
Модули всех корней 4-й степени равны
11
4
=
. Аргументы
будут иметь значения:
8
π
;
4
2
8
π
+
π
;
4
4
8
π
+
π
;
4
6
8
π
+
π
или
π
8
1
;
π
8
5
;
π
8
9
;
π
8
13
,
PDF создан незарегистрированной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
   не могут. Таким образом каждое комплексное число, отличное от
   нуля, имеет ровно n корней n -й степени.
        Итак, если только корень n -й степени из комплексного чис-
   ла z = r (cos ϕ + i sin ϕ) существует, то он может принимать лишь
   следующие n значений:
                       ϕ       ϕ
          a0 = n r  cos + i sin  ;
                       n       n

                            ϕ + 2π              ϕ + 2π 
           a1 = n r  cos               + i sin            ;
                                n                   n 
          .....................................................;
                         ϕ + 2(n − 1)π         ϕ + 2(n − 1)π 
        an −1 = n r  cos               + i sin               .
                               n                     n       
       Геометрически все n значений корня n -й степени из комп-
   лексного числа z = r (cos ϕ + i sin ϕ) изображаются точками, ле-
   жащими на окружности с центром в начале координат, радиус
   которой равен n r .

          Пример

          1. Найти все значения корня 4-й степени из i .
                    π        π
          i = cos     + i sin .
                    2        2
       Модули всех корней 4-й степени равны                        4
                                                                       1 = 1 . Аргументы
   будут иметь значения:
          π π 2π π 4π π 6π
           ; +  ; +  ; +
          8 8 4 8 4 8 4
    или
          1   5  9   13
            π; π; π;    π,
          8   8  8    8
                                                      23



PDF создан незарегистрированной версией pdfFactory Pro www.pdffact

Страницы