Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 228 стр.

228                                                                                                 Ãëàâà âîñüìàÿ

ãî ðàíãà, ïðåîáðàçóþùèìèñÿ ïî çàêîíó (8.5.6). Çàìåòèì, ÷òî åñëè ψ α1 ...α p -

êîìïîíåíòû êîâàðèàíòíîãî ñïèíîðà ðàíãà                                                          (    )
                                                                                      p , òî ψ α1 ...α p - êîìïîíåí-
òû êîíòðàâàðèàíòíîãî ñïèíîðà òîãî æå ðàíãà

      (ψ )   + α1 ...α p
                                   (
                              = ψ α1 ...α p .       )
      Â ïðîñòðàíñòâå                        C pq , ïðåîáðàçóþùåìñÿ ïî ïðåäñòàâëåíèþ

      U ⊗...⊗U ⊗U ⊗...⊗U
                     p ðàç                                   q ðàç
                                                                              ,

                                                                       α ...α
ââåä¸ì îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ                                       e β11...β qp

      (e   α1 ...α p
           β1 ... β q
                          α ′ ...α ′
                                       )
                        e β11′...β qp′ = δ α1α1′ ...δ α pα ′p δ β1β1′ ...δ β q β q′ .
      Òîãäà
                  α ...α                                                               γ ...γ
      U pq e β11 ...β qp = U γ 1α1 ...U γ pα p U δ 1β1 ...U δ q β q eδ11 ...δ qp .                        (8.5.7)
      Êîìïîíåíòû âåêòîðà
                           β ... β         α ...α
      ø pq = ψ α11...α pq e β11 ...β pq                                                                   (8.5.8)
ïðåîáðàçóþòñÿ ïî çàêîíó
            β ... β                                                                 δ ...δ
      ψ α′ 1 ...1 α p q = Uα1γ 1 ...Uα pγ p U β1δ 1 ...U β qδ qψ γ 11...γ pp .                            (8.5.9)
     Ýòè âåêòîðû áóäåì íàçûâàòü ñìåøàííûìè ñïèíîðàìè, êîâàðèàíò-
íûìè p ðàç è êîíòðàâàðèàíòíûìè q ðàç.
     Òàê êàê êàæäûé ñïèíîð ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèìè êîìïî-
íåíòàìè, òî â äàëüíåéøåì äëÿ õàðàêòåðèñòèêè ñïèíîðîâ, òî åñòü âåêòî-
                                                                                                             β ... β
ðîâ â ïðîñòðàíñòâå                     C pq , áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ èõ êîìïîíåíòàìè ψ α11...α pq .
           β ... β
Åñëè ψ α11...α pq - êîìïîíåíòû ñïèíîðà                                 p ðàç êîâàðèàíòíîãî è q ðàç êîí-

òðàâàðèàíòíîãî, òî                         (ψ   β 1 ...β q
                                                α 1 ...α p   )- êîìïîíåíòû íåêîòîðîãî ñïèíîðà q ðàç
êîâàðèàíòíîãî è                    p ðàç êîíòðàâàðèàíòíîãî, êîòîðûé ìû îáîçíà÷èì êàê
ø + . Òàêèì îáðàçîì