Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 229 стр.

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229Ãðóïïà SU(n) è å¸ ïðåäñòàâëåíèÿ
()
()
q
p
p
q
ββ
αα
αα
ββ
ψψ
...
...
...
...
1
1
1
1
=
+
. (8.5.10)
Ðàññìîòðèì äëÿ ïðèìåðà òðè ñïèíîðà: ñïèíîð âòîðîãî ðàíãà â
11
C
ñ êîìïîíåíòàìè
α
β
α
β
δ
ψ
=
(8.5.11)
è ñïèíîðû n -ãî ðàíãà â
n
C
è
n
C
ñ êîìïîíåíòàìè
nn
αααα
ε
ψ
......
11
=
, (8.5.12)
è
nn
αααα
ε
ψ
......
11
=
, (8.5.13)
ãäå 0
...
...
1
1
==
n
n
αα
αα
εε
, åñëè äâà (èëè áîëåå) èíäåêñà
i
α
è
j
α
ñîâïàäà-
þò, ðàâíî 1, åñëè
()
n
αα
...
1
- ÷¸òíàÿ ïåðåñòàíîâêà
()
n,...,2,1 , è ðàâíî 1,
åñëè
()
n
αα
...
1
- íå÷¸òíàÿ ïåðåñòàíîâêà. Ýòîò ñïèíîð áóäåì íàçûâàòü ïîë-
íîñòüþ àíòèñèììåòðè÷íûì òåíçîðîì n -ãî ðàíãà. Äëÿ ñïèíîðà (8.5.11)
â ñèëó óñëîâèÿ 1=
+
UU èìååì çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ
()
α
β
βα
γαβγ
γ
δαγβδ
α
β
δδδ
====
′
++
UUUUUU ,
à äëÿ ñïèíîðîâ (8.5.12) è (8.5.13) â ñèëó óñëîâèÿ
1det =U
, èìååì
nnnnnn
UUU
ααααβββαβααα
εεεε
............
111111
det...
===
′
è
nnn
nn
n
UUU
ααααββ
βαβα
αα
εεεε
............
111
11
1
det...
===
′
.
Ìû âèäèì, ÷òî êîìïîíåíòû ñïèíîðîâ íå ìåíÿþòñÿ ïðè âñåõ ïðåîá-
ðàçîâàíèÿõ ãðóïïû
()
nSU , òî åñòü ýòè ñïèíîðû ÿâëÿþòñÿ èíâàðèàíòà-
ìè ãðóïïû
()
nSU . Åñëè îáîçíà÷èòü ÷åðåç
α
β
e ,
n
αα
...
1
e ,
n
αα
...
1
e
áàçèñû â ïðîñòðàíñòâàõ
11
C ,
n
C
è
n
C
ñîîòâåòñòâåííî, òî âåêòîðû â
ýòèõ ïðîñòðàíñòâàõ ñ êîìïîíåíòàìè (8.5.11)-(8.5.13) èìåþò âèä
Ãðóïïà SU(n) è å¸ ïðåäñòàâëåíèÿ                                                                   229


        (ψ )
           + α 1 ...α p
             β 1 ... β q      (       β ... β
                           = ψ α 11...α pq .    )                                           (8.5.10)


       Ðàññìîòðèì äëÿ ïðèìåðà òðè ñïèíîðà: ñïèíîð âòîðîãî ðàíãà â                                C1 1
ñ êîìïîíåíòàìè
       ψ αβ = δ βα                                                                          (8.5.11)

è ñïèíîðû        n -ãî ðàíãà â Cn è Cn ñ êîìïîíåíòàìè
       ψ α1 ...α n = ε α1 ...α n ,                                                          (8.5.12)
è
       ψ α1 ...α n = ε α 1 ...α n ,                                                         (8.5.13)

ãäå   ε α1 ...α n = εα 1 ...α n = 0 , åñëè äâà (èëè áîëåå) èíäåêñà α i è α j ñîâïàäà-
þò, ðàâíî 1, åñëè            (α1...α n ) - ÷¸òíàÿ ïåðåñòàíîâêà (1,2,..., n ) , è ðàâíî –1,
åñëè   (α1...α n ) - íå÷¸òíàÿ ïåðåñòàíîâêà. Ýòîò ñïèíîð áóäåì íàçûâàòü ïîë-
íîñòüþ àíòèñèììåòðè÷íûì òåíçîðîì                            n -ãî ðàíãà. Äëÿ ñïèíîðà (8.5.11)
                                  +
â ñèëó óñëîâèÿ             UU = 1 èìååì çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ
       δ ′ = U βδ Uαγ δ δγ = U βγ U γα+ = (UU + )βα = δ βα ,
         β
          α


à äëÿ ñïèíîðîâ (8.5.12) è (8.5.13) â ñèëó óñëîâèÿ det U = 1 , èìååì
       ε α′ 1 ...α n = Uα1 β1 ...Uα n β n ε β 1 ...β n = det Uεα 1 ...α n = ε α1 ...α n
è
       ε ′α1 ...α n = Uα1 β1 ...Uα n β n ε β1 ...β n = det U ε α 1 ...α n = ε α1 ...α n .
       Ìû âèäèì, ÷òî êîìïîíåíòû ñïèíîðîâ íå ìåíÿþòñÿ ïðè âñåõ ïðåîá-
ðàçîâàíèÿõ ãðóïïû                 SU (n ) , òî åñòü ýòè ñïèíîðû ÿâëÿþòñÿ èíâàðèàíòà-
ìè ãðóïïû        SU (n ) . Åñëè îáîçíà÷èòü ÷åðåç
       eαβ , eα1 ...α n , eα1 ...α n
áàçèñû â ïðîñòðàíñòâàõ                          C1 1 , Cn è Cn ñîîòâåòñòâåííî, òî âåêòîðû â
ýòèõ ïðîñòðàíñòâàõ ñ êîìïîíåíòàìè (8.5.11)-(8.5.13) èìåþò âèä

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