Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 230 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

230 Ãëàâà âîñüìàÿ
n
n
eeeä ++== ...
1
1
α
α
, (8.5.14)
...
...231...213...123
−+−=
nnnp
eeeå
, (8.5.15)
...
...231...213...123
−+−=
nnnp
eeeå . (8.5.16)
Ýòè âåêòîðû ñëóæàò áàçèñàìè îäíîìåðíûõ ïðîñòðàíñòâ, èíâàðè-
àíòíûõ îòíîñèòåëüíî ãðóïïû
()
nSU , òî åñòü ÿâëÿþòñÿ áàçèñàìè ïðî-
ñòðàíñòâ, ïðåîáðàçóþùèõñÿ ïî å¸ îäíîìåðíûì ïðåäñòàâëåíèÿì.
§8.6. Íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ
Ðàññìîòðåííûå â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå ïðîèçâåäåíèÿ ôóíäàìåí-
òàëüíûõ è êîíòðàãðåäèåíòíûõ èì ïðåäñòàâëåíèé ïðèâîäèìû. Òàê ýòè
ïðåäñòàâëåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ïðîèçâåäåíèÿìè óíèòàðíûõ ïðåäñòàâëåíèé, òî
îíè óíèòàðíû è, ñëåäîâàòåëüíî, âïîëíå ïðèâîäèìû (ñì. §8.2). Ðàçëîæèì
ýòè ïðåäñòàâëåíèÿ íà íåïðèâîäèìûå.
Íà÷í¸ì ñ íàèáîëåå ïðîñòîãî ïðèìåðà ïðåäñòàâëåíèÿ
UU ⊗
â ïðî-
ñòðàíñòâå
2
C ñ áàçèñîì
21
αα
e
. Âåêòîðû â ýòîì ïðîñòðàíñòâå  êîâàðèàí-
òíûå ñïèíîðû âòîðîãî ðàíãà. Èç ïðîèçâîëüíîãî ñïèíîðà
21
αα
ψ
îáðàçó-
åì ñèììåòðè÷íûé è àíòèñèììåòðè÷íûé ñïèíîðû ñ êîìïîíåíòàìè
{}
()
122121
2
1
αααααα
ψψ
ψ
+=
; (8.6.1)
[]
()
122121
2
1
αααααα
ψψ
ψ
−=
. (8.6.2)
 ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì ïðîñòðàíñòâî
2
C ðàçëàãàåòñÿ íà äâà ïîäïðîñ-
òðàíñòâà
s
C
2
è
a
C
2
, áàçèñû êîòîðûõ îáðàçóþòñÿ èç
()
2
1
+
nn
âåêòîðîâ
{}
()
=
≠+
=
,
21
21
,
,,
2
1
21
1221
21
αα
αα
αα
αααα
αα
e
ee
e (8.6.3)
230                                                                   Ãëàâà âîñüìàÿ

      ä = eαα = e11 + ... + e nn ,                                          (8.5.14)

      å p = e123...n − e 213...n + e 231...n − ... ,                        (8.5.15)
      å p = e123...n − e 213...n + e 231...n − ... .                        (8.5.16)
      Ýòè âåêòîðû ñëóæàò áàçèñàìè îäíîìåðíûõ ïðîñòðàíñòâ, èíâàðè-
àíòíûõ îòíîñèòåëüíî ãðóïïû SU (n ) , òî åñòü ÿâëÿþòñÿ áàçèñàìè ïðî-
ñòðàíñòâ, ïðåîáðàçóþùèõñÿ ïî å¸ îäíîìåðíûì ïðåäñòàâëåíèÿì.


       §8.6. Íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ

     Ðàññìîòðåííûå â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå ïðîèçâåäåíèÿ ôóíäàìåí-
òàëüíûõ è êîíòðàãðåäèåíòíûõ èì ïðåäñòàâëåíèé ïðèâîäèìû. Òàê ýòè
ïðåäñòàâëåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ïðîèçâåäåíèÿìè óíèòàðíûõ ïðåäñòàâëåíèé, òî
îíè óíèòàðíû è, ñëåäîâàòåëüíî, âïîëíå ïðèâîäèìû (ñì. §8.2). Ðàçëîæèì
ýòè ïðåäñòàâëåíèÿ íà íåïðèâîäèìûå.
      Íà÷í¸ì ñ íàèáîëåå ïðîñòîãî ïðèìåðà ïðåäñòàâëåíèÿ U ⊗ U â ïðî-
ñòðàíñòâå       C2 ñ áàçèñîì eα1α 2 . Âåêòîðû â ýòîì ïðîñòðàíñòâå – êîâàðèàí-
òíûå ñïèíîðû âòîðîãî ðàíãà. Èç ïðîèçâîëüíîãî ñïèíîðà ψ α1α 2 îáðàçó-
åì ñèììåòðè÷íûé è àíòèñèììåòðè÷íûé ñïèíîðû ñ êîìïîíåíòàìè

      ψ {α1α 2 } =
                         1
                           (               )
                           ψ α α + ψ α 2α 1 ;
                         2 1 2
                                                                            (8.6.1)


      ψ [α1α 2 ] =
                        1
                           (              )
                          ψ α α − ψ α 2α 1 .
                        2 1 2
                                                                            (8.6.2)

      Â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì ïðîñòðàíñòâî               C2 ðàçëàãàåòñÿ íà äâà ïîäïðîñ-
                                                                n(n + 1)
òðàíñòâà      C2s è C2a , áàçèñû êîòîðûõ îáðàçóþòñÿ èç                   âåêòîðîâ
                                                                   2

          {α 1α 2 }           (
                        1 α1α 2
                               e               )
                                    + eα 2α1 , α1 ≠ α 2 ,
      e               = 2                                                  (8.6.3)
                       eα1α 2 , α = α ,
                                 1    2

Страницы