Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 232 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

232 Ãëàâà âîñüìàÿ
ðè÷íûé ñïèíîð âòîðîãî ðàíãà, òî åñòü âåêòîð èç ïîäïðîñòðàíñòâà
s
C
2
ïåðåõîäèò â âåêòîð èç ýòîãî ïîäïðîñòðàíñòâà, è àíàëîãè÷íî àíòèñèì-
ìåòðè÷íûé ñïèíîð ïðåâðàùàåòñÿ â àíòèñèììåòðè÷íûé ñïèíîð, òî åñòü
ïîäïðîñòðàíñòâî
a
C
2
ïåðåõîäèò â ñåáÿ.
Ïîêàæåì, ÷òî îíè ïðåîáðàçóþòñÿ ïî íåïðèâîäèìûì ïðåäñòàâ-
ëåíèÿì. Âûáåðåì ëþáûå äâà áàçèñíûõ âåêòîðà, íàïðèìåð âèäà (8.6.3).
Ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿ (7.2.4) (èëè (6.10.9)) ìû ìîæåì ïîêàçàòü,
÷òî äëÿ èíôèíèòåçèìàëüíîãî îïåðàòîðà
k
Y
() ( ) () ( )
2121
11
⊗+⊗=
kkk
YYY
, (8.6.8)
ãäå
()
i
1 - åäèíè÷íûé îïåðàòîð â ïðîñòðàíñòâå
i
C
, îïåðàòîðû
()
1
k
Y
äåé-
ñòâóþò òîëüêî íà ïåðâûé èíäåêñ, à îïåðàòîðû
()
2
k
Y
- íà âòîðîé. Ìîæíî
ïîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíôèíèòåçèìàëüíûõ
îïåðàòîðîâ ,...,...,,
21
m
kkk
YYY
, ÷òî â ðåçóëüòàòå äåéñòâèÿ ýòèõ îïåðàòî-
ðîâ íà îäèí èç âûáðàííûõ âåêòîðîâ ìîæíî ïîëó÷èòü âåêòîð, ïðîïîðöè-
îíàëüíûé âòîðîìó. Ýòîò ôàêò ìîæíî ñ÷èòàòü äîêàçàòåëüñòâîì íåïðè-
âîäèìîñòè ïðåäñòàâëåíèé â
s
C
2
è
a
C
2
.
Òàêèì îáðàçîì, ëþáîé êîâàðèàíòíûé ñïèíîð âòîðîãî ðàíãà ðàç-
ëàãàåòñÿ íà ñèììåòðè÷íûé è àíòèñèììåòðè÷íûé êîâàðèàíòíûé ñïè-
íîðû
{}
[]
212121
αααααα
ψψ
ψ
+=
, (8.6.9)
îáðàçóþùèå íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå.
Ðàññìîòðèì òåïåðü ïðåäñòàâëåíèå UU ⊗ â ïðîñòðàíñòâå
11
C ñ
áàçèñîì
α
β
e . Âåêòîðû â ýòîì ïðîñòðàíñòâå ÿâëÿþòñÿ ñïèíîðàìè âòîðîãî
ðàíãà ñ êîìïîíåíòàìè
β
α
ψ
. Ïîêàæåì, ïðåæäå âñåãî, ÷òî ñóììà
α
α
ψ
èí-
âàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî âñåõ ïðåîáðàçîâàíèé UU ⊗ . Ñîãëàñíî (8.5.9),
èìååì
δ
γβδαγ
β
α
ψ
ψ
==
′
UU ,
232                                                                    Ãëàâà âîñüìàÿ

                                                                                       s
ðè÷íûé ñïèíîð âòîðîãî ðàíãà, òî åñòü âåêòîð èç ïîäïðîñòðàíñòâà C2
ïåðåõîäèò â âåêòîð èç ýòîãî ïîäïðîñòðàíñòâà, è àíàëîãè÷íî àíòèñèì-
ìåòðè÷íûé ñïèíîð ïðåâðàùàåòñÿ â àíòèñèììåòðè÷íûé ñïèíîð, òî åñòü
                            a
ïîäïðîñòðàíñòâî C2 ïåðåõîäèò â ñåáÿ.
    Ïîêàæåì, ÷òî îíè ïðåîáðàçóþòñÿ ïî íåïðèâîäèìûì ïðåäñòàâ-
ëåíèÿì. Âûáåðåì ëþáûå äâà áàçèñíûõ âåêòîðà, íàïðèìåð âèäà (8.6.3).
Ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿ (7.2.4) (èëè (6.10.9)) ìû ìîæåì ïîêàçàòü,
÷òî äëÿ èíôèíèòåçèìàëüíîãî îïåðàòîðà                    Yk
       Yk = 1(1) ⊗ Yk(2 ) + Yk(1) ⊗ 1(2 ) ,                                  (8.6.8)

ãäå   1(i ) - åäèíè÷íûé îïåðàòîð â ïðîñòðàíñòâå Ci , îïåðàòîðû Yk(1) äåé-
ñòâóþò òîëüêî íà ïåðâûé èíäåêñ, à îïåðàòîðû                  Yk(2 ) - íà âòîðîé. Ìîæíî
ïîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíôèíèòåçèìàëüíûõ
îïåðàòîðîâ       Yk1 , Yk 2 ,..., Yk m ,... , ÷òî â ðåçóëüòàòå äåéñòâèÿ ýòèõ îïåðàòî-
ðîâ íà îäèí èç âûáðàííûõ âåêòîðîâ ìîæíî ïîëó÷èòü âåêòîð, ïðîïîðöè-
îíàëüíûé âòîðîìó. Ýòîò ôàêò ìîæíî ñ÷èòàòü äîêàçàòåëüñòâîì íåïðè-
                                              s   a
âîäèìîñòè ïðåäñòàâëåíèé â C2 è C2 .
     Òàêèì îáðàçîì, ëþáîé êîâàðèàíòíûé ñïèíîð âòîðîãî ðàíãà ðàç-
ëàãàåòñÿ íà ñèììåòðè÷íûé è àíòèñèììåòðè÷íûé êîâàðèàíòíûé ñïè-
íîðû
       ψ α1α 2 = ψ {α1α 2 } + ψ [α 1α 2 ] ,                                  (8.6.9)
îáðàçóþùèå íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå.
       Ðàññìîòðèì òåïåðü ïðåäñòàâëåíèå                U ⊗ U â ïðîñòðàíñòâå C1 1 ñ
áàçèñîì     eαβ . Âåêòîðû â ýòîì ïðîñòðàíñòâå ÿâëÿþòñÿ ñïèíîðàìè âòîðîãî
                                    β                                           α
ðàíãà ñ êîìïîíåíòàìè ψ α . Ïîêàæåì, ïðåæäå âñåãî, ÷òî ñóììà ψ α èí-

âàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî âñåõ ïðåîáðàçîâàíèé U                  ⊗ U . Ñîãëàñíî (8.5.9),
èìååì
       ψ α′ β = Uαγ U βδ = ψ γδ ,

Страницы