Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 234 стр.

234                                                                  Ãëàâà âîñüìàÿ

( p + q − 2) -ãî ðàíãà,      p − 1 êîâàðèàíòíûì è q − 1 êîíòðàâàðèàíòíûì.
     Ðàññìîòðèì òåïåðü ñïèíîðû âûñøèõ ðàíãîâ. Èç ëþáîãî êîâàðèàí-
òíîãî ñïèíîðà, íàïðèìåð p -ãî ðàíãà, ìîæíî îáðàçîâàòü ïîëíîñòüþ

ñèììåòðè÷íûé ñïèíîð ψ {α1 ...α p } , êîòîðûé íåïðèâîäèì. Åñëè             p ≤ n , ìîæ-

íî îáðàçîâàòü òàê æå è ïîëíîñòüþ àíòèñèììåòðè÷íûé ñïèíîð ψ [α1 ...α p ] ,
êîòîðûé òàê æå íåïðèâîäèì. Òàê êàê äëÿ ïîëíîñòüþ àíòèñèììåòðè÷íî-
ãî ñïèíîðà âñå èíäåêñû äîëæíû áûòü ðàçëè÷íûìè, íå ñóùåñòâóåò ïîë-
íîñòüþ àíòèñèììåòðè÷íîãî ñïèíîðà ðàíãà p > n . Ñèììåòðè÷íûé ñïè-
íîð   p -ãî ðàíãà èìååò

          n(n + 1)...(n + p − 1)
       1
       p!
íåçàâèñèìûõ êîîðäèíàò, à àíòèñèììåòðè÷íûé ñïèíîð                 p -ãî ðàíãà èìååò

          n(n − 1)...(n − p + 1)
       1
       p!
íåçàâèñèìûõ êîìïîíåíò. Êðîìå ñïèíîðîâ ψ {α1 ...α p } è ψ [α1 ...α p ] ñóùåñòâó-
þò òàê æå è äðóãèå ñïèíîðû, ñèììåòðèçîâàííûå ïî íåêîòîðûì ïàðàì
èíäåêñîâ è çàòåì àíòèñèììåòðèçîâàííûå ïî äðóãèì ïàðàì èíäåêñîâ. Ýòè
ñïèíîðû õàðàêòåðèçóþòñÿ ñõåìàìè Þíãà, ñîäåðæàùèìè êëåòêè, ãäå àí-
òèñèììåòðèçîâàííûì èíäåêñàì ñîîòâåòñòâóþò êëåòêè ðàñïîëîæåííûå â
îäíîì ñòîëáöå, à ñèììåòðèçîâàííûì èíäåêñàì – â îäíîé ñòðîêå. Ëþáîé
êîâàðèàíòíûé ñïèíîð òðåòüåãî ðàíãà             ψ αβγ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â
âèäå ñóììû ñëåäóþùèõ ÷åòûð¸õ íåïðèâîäèìûõ ñïèíîðîâ: ïîëíîñòüþ
ñèììåòðè÷íîãî ñïèíîðà

      ψ {αβγ } =
                   1
                   6
                     (ψ αβγ + ψ βαγ + ψ βγα + ψ γβα + ψ γαβ + ψ αγβ ),       (8.6.12)

ïîëíîñòüþ àíòèñèììåòðè÷íîãî ñïèíîðà

      ψ [αβγ ] =
                   1
                   6
                     (ψ αβγ − ψ βαγ + ψ βγα − ψ γβα + ψ γαβ − ψ αγβ ) ,      (8.6.13)

ñïèíîðà, ñèììåòðèçîâàííîãî ïî α è             β , è çàòåì àíòèñèììåòðèçîâàííî-