Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 235 стр.

Ãðóïïà SU(n) è å¸ ïðåäñòàâëåíèÿ                                                                 235

ãî ïî    β èγ,

        ψ {α [ β }γ ] =
                          1
                          3
                            (ψ αβγ + ψ βαγ − ψ αγβ − ψ γαβ )                            (8.6.14)

è ñïèíîðà, ñèììåòðèçîâàííîãî ïî                      β è γ , à çàòåì àíòèñèììåòðèçîâàí-
íîãî ïî     α è β,

        ψ [α { β ]γ } =
                          1
                          3
                            (ψ αβγ + ψ αγβ − ψ βαγ − ψ βγα ),                           (8.6.15)

îòêóäà
        ψ αβγ = ψ {αβγ } + ψ [αβγ ] + ψ {α [ β }γ ] + ψ [α { β ]γ }                     (8.6.16)
è
        ψ {α [ β }γ ] + ψ { β [γ }α ] + ψ {γ [α }β ] = 0 .                              (8.6.17)
    Íåïðèâîäèìûå ñïèíîðû (8.6.12)-(8.6.15) õàðàêòåðèçóþòñÿ ñõåìàìè
Þíãà:
                                            α
                  α β γ                     β                β α              β γ
                                            γ                γ                α

        ×èñëà êîìïîíåíò ýòèõ ñïèíîðîâ ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû
        1
        3!
           n(n + 1)(n + 2) , n(n − 1)(n − 2), n n 2 − 1 , n n 2 − 1 .
                            1
                            3!
                                             1
                                             3
                                                         1
                                                         3
                                                                      (   )         (       )
        Ïî àíàëîãèè ëþáîé êîâàðèàíòíûé ñïèíîð p -ãî ðàíãà ðàçëàãàåò-
ñÿ íà ñóììó íåïðèâîäèìûõ ñïèíîðîâ, ñèììåòðèçîâàííûõ è àíòèñèììåò-
ðèçîâàííûõ ïî îïðåäåë¸ííûì ñõåìàì Þíãà.
      Ïðè ïîìîùè ïîëíîñòüþ àíòèñèììåòðèçîâàííîãî ñïèíîðà n -ãî
ðàíãà     ε α1 ...α n äëÿ ëþáûõ êîíòðàãðåäèåíòíûõ è ñìåøàííûõ ñïèíîðîâ
ìîæíî ââåñòè ýêâèâàëåíòíûå èì êîâàðèàíòíûå ñïèíîðû.
                                                                      α
     Íàïðèìåð, êîíòðàâàðèàíòíûé ñïèíîð ψ ýêâèâàëåíòåí ïîëíîñ-
òüþ àíòèñèììåòðè÷íîìó ñïèíîðó ïÿòîãî ðàíãà:
        ψ [αβγδε ] = ε αβγδενψ ν ,