Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 233 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

233Ãðóïïà SU(n) è å¸ ïðåäñòàâëåíèÿ
()
α
α
δ
γδγ
δ
γ
δγ
δ
γδααγ
δ
γαδαγ
α
α
ψψδψψψ
ψ
=====
′
++
UUUUUU ,
÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Çàìåòèì, åñëè ñïèíîð
β
α
ψ
èìååò ñëåä ðàâ-
íûé íóëþ, òî ýòî ñâîéñòâî èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî âñåõ ïðåîáðàçî-
âàíèé UU ⊗ .
Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé ñïèíîð
β
α
ψ
è ðàçëîæèì åãî íà äâå ÷àñòè,
ïåðâàÿ èç êîòîðûõ èìååò íóëåâîé ñëåä, à âòîðàÿ ïðîïîðöèîíàëüíà
β
α
δ
:
γ
γ
β
α
γ
γ
β
α
β
α
β
α
ψδψδψ
ψ
nn
11
+
−=
. (8.6.10)
 §8.5 ìû ïîêàçàëè, ÷òî ñïèíîð
β
α
δ
ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì è òàêèì
îáðàçîì, ñïèíîðû ñ íóëåâûì ñëåäîì
γ
γ
β
α
β
α
ψδ
ψ
n
1
−
è ñïèíîðû
γ
γ
β
α
ψδ
n
1
,
êðàòíûå ñïèíîðó
β
α
δ
, îáðàçóþò èíâàðèàíòíûå ïîäïðîñòðàíñòâà â
11
C ,
êîòîðûå îðòîãîíàëüíû, òàê êàê ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå
β
α
δ
íà ïðîèç-
âîëüíûé ñïèíîð
α
β
Φ
ðàâíî ñëåäó ýòîãî ñïèíîðà
α
α
α
β
β
α
δ
Φ=Φ
. (8.6.11)
Ñ ïîìîùüþ èçëîæåííîãî âûøå ìåòîäà ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñïè-
íîðû ñ íóëåâûì ñëåäîì îáðàçóþò íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ è ôîð-
ìóëà (8.6.10) åñòü ðàçëîæåíèå ïðîèçâîëüíîãî ñïèíîðà
β
α
ψ
íà íåïðèâî-
äèìûå. Ïåðâûé ñïèíîð â ýòîé ôîðìóëå èìååò 1
2
−n
êîìïîíåíòó, à âòî-
ðîé ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì. Çàìåòèì, ÷òî èíâàðèàíòíîñòü ñóììû
α
α
ψ
-
÷àñòíûé ñëó÷àé ñëåäóþùåãî îáùåãî ôàêòà. Åñëè
q
p
ββ
αα
ψ
...
...
1
1
- ñìåøàííûé
ñïèíîð
()
qp
+
-ãî ðàíãà, p ðàç êîâàðèàíòíûé è q ðàç êîíòðàâàðèàíò-
íûé, òî ñóììà
q
p
βαβ
ααα
ψ
...
...
2
2
ÿâëÿåòñÿ (ñì. §3.6) ñìåøàííûì ñïèíîðîì
Ãðóïïà SU(n) è å¸ ïðåäñòàâëåíèÿ                                                  233

     ψ α′α = Uαγ Uαδψ γδ = Uαγ U δα
                                 +
                                   ψ γδ = (UU + )δγ ψ γδ = δ δγψ γδ = ψ αα ,
÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Çàìåòèì, åñëè ñïèíîð          ψ αβ èìååò ñëåä ðàâ-
íûé íóëþ, òî ýòî ñâîéñòâî èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî âñåõ ïðåîáðàçî-
âàíèé   U ⊗U .
                                               β
     Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé ñïèíîð ψ α è ðàçëîæèì åãî íà äâå ÷àñòè,

ïåðâàÿ èç êîòîðûõ èìååò íóëåâîé ñëåä, à âòîðàÿ ïðîïîðöèîíàëüíà               δ αβ :

                  1          1
     ψ αβ = ψ αβ − δ αβψ γγ  + δ αβψ γγ .                                (8.6.10)
                  n          n
                                           β
     Â §8.5 ìû ïîêàçàëè, ÷òî ñïèíîð δ α ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì è òàêèì

                                               1                  1
îáðàçîì, ñïèíîðû ñ íóëåâûì ñëåäîì        ψ αβ − δ αβψ γγ è ñïèíîðû δ αβψ γγ ,
                                               n                  n
êðàòíûå ñïèíîðó    δ αβ , îáðàçóþò èíâàðèàíòíûå ïîäïðîñòðàíñòâà â C1 1 ,
êîòîðûå îðòîãîíàëüíû, òàê êàê ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå                  δ αβ íà ïðîèç-
âîëüíûé ñïèíîð     Φαβ ðàâíî ñëåäó ýòîãî ñïèíîðà

     δ αβ Φαβ = Φαα .                                                      (8.6.11)
    Ñ ïîìîùüþ èçëîæåííîãî âûøå ìåòîäà ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñïè-
íîðû ñ íóëåâûì ñëåäîì îáðàçóþò íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ è ôîð-
                                                                      β
ìóëà (8.6.10) åñòü ðàçëîæåíèå ïðîèçâîëüíîãî ñïèíîðà ψ α íà íåïðèâî-

äèìûå. Ïåðâûé ñïèíîð â ýòîé ôîðìóëå èìååò           n 2 − 1 êîìïîíåíòó, à âòî-
ðîé ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì. Çàìåòèì, ÷òî èíâàðèàíòíîñòü ñóììû                    ψ αα -
                                                            β ... β
÷àñòíûé ñëó÷àé ñëåäóþùåãî îáùåãî ôàêòà. Åñëè             ψ α11...α pq - ñìåøàííûé
ñïèíîð   ( p + q )-ãî ðàíãà,   p ðàç êîâàðèàíòíûé è q ðàç êîíòðàâàðèàíò-
íûé, òî ñóììà       αβ ...β
                  ψ αα 22 ...α qp ÿâëÿåòñÿ (ñì. §3.6) ñìåøàííûì ñïèíîðîì

Страницы