Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 231 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

231Ãðóïïà SU(n) è å¸ ïðåäñòàâëåíèÿ
è
()
2
1
−
nn
âåêòîðîâ
[]
()
122121
2
1
αααααα
eee
−=
(8.6.4)
ñîîòâåòñòâåííî.
Ëþáîé âåêòîð â ïðîñòðàíñòâå
s
C
2
èìååò âèä
{}
()
.
2
1
21
1221
21
21
21
21
∑∑
∑
>
≥
+Φ+Φ=
=Φ=
αα
αααα
αα
α
αα
αα
αα
αα
αα
eee
eø
q
(8.6.5)
Îáîçíà÷àÿ ÷åðåç
s
21
αα
ψ
êîìïîíåíòû âåêòîðà
s
ø â èñõîäíîì áàçè-
ñå
21
αα
e
, ìû ìîæåì çàïèñàòü
21
21
αα
αα
ψ
eø
s
s
=
. (8.6.6)
Ñðàâíèâàÿ âûðàæåíèÿ (8.5.6) è (8.6.6), ïîëó÷èì
<Φ
>Φ
=Φ
==
.,
2
1
,,
2
1
,,
21
21
21
12
21
21
1221
αα
αα
αα
ψ
ψ
αα
αα
αα
αααα
ss
(8.6.7)
Ìû âèäèì, ÷òî âåêòîðû â ïðîñòðàíñòâå
s
C
2
- ñèììåòðè÷íûå ñïèíî-
ðû. Ïîñêîëüêó ëþáîé âåêòîð âèäà (8.6.3) îðòîãîíàëåí ëþáîìó âåêòîðó
âèäà (8.6.4), ïîäïðîñòðàíñòâà
s
C
2
è
a
C
2
îðòîãîíàëüíû. Îíè ÿâëÿþòñÿ
èíâàðèàíòíûìè ïîäïðîñòðàíñòâàìè, òàê êàê â ëþáîì ïðåîáðàçîâàíèè
UU ⊗
ñèììåòðè÷íûé ñïèíîð âòîðîãî ðàíãà ïðåîáðàçóåòñÿ â ñèììåò-
Ãðóïïà SU(n) è å¸ ïðåäñòàâëåíèÿ                                                            231

     n(n − 1)
è             âåêòîðîâ
        2

        e[α1α 2 ] =       e (
                       1 α1α 2
                               − eα 2α1           )                                  (8.6.4)
                        2
ñîîòâåòñòâåííî.
       Ëþáîé âåêòîð â ïðîñòðàíñòâå                        C2s èìååò âèä

        øq =      ∑Φ
                α 1 ≥α 2
                           α 1α 2   e{α1α 2 } =
                                                                                     (8.6.5)
             = ∑ Φαα e          αα
                                      +
                                        1
                                            ∑               (
                                                  Φα1α 2 eα1α 2 + eα 2α1 . )
                  α                      2 α 1 >α 2

       Îáîçíà÷àÿ ÷åðåç ψ α1α 2 êîìïîíåíòû âåêòîðà                         ø s â èñõîäíîì áàçè-
                                         s



ñå   eα1α 2 , ìû ìîæåì çàïèñàòü
        ø s = ψ αs 1α 2 eα1α 2 .                                                     (8.6.6)
       Ñðàâíèâàÿ âûðàæåíèÿ (8.5.6) è (8.6.6), ïîëó÷èì

                                 
                                 Φα α , α1 = α 2 ,
                                  1 2
                                  1
       ψ αs 1α 2 = ψ αs 2α 1    =    Φα1α 2 , α1 > α 2 ,                            (8.6.7)
                                  2
                                  1
                                     Φα 2α 1 , α1 < α 2 .
                                  2
                                                                    s
     Ìû âèäèì, ÷òî âåêòîðû â ïðîñòðàíñòâå C2 - ñèììåòðè÷íûå ñïèíî-
ðû. Ïîñêîëüêó ëþáîé âåêòîð âèäà (8.6.3) îðòîãîíàëåí ëþáîìó âåêòîðó
                                                      s      a
âèäà (8.6.4), ïîäïðîñòðàíñòâà C2 è C2 îðòîãîíàëüíû. Îíè ÿâëÿþòñÿ
èíâàðèàíòíûìè ïîäïðîñòðàíñòâàìè, òàê êàê â ëþáîì ïðåîáðàçîâàíèè
U ⊗ U ñèììåòðè÷íûé ñïèíîð âòîðîãî ðàíãà ïðåîáðàçóåòñÿ â ñèììåò-

Страницы