Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 236 стр.

236                                                         Ãëàâà âîñüìàÿ

òàê êàê ïðîèçâåäåíèå   ε αβγδενψ ν îáðàçóåò ñïèíîð ñåäüìîãî ðàíãà, îäèí
ðàç êîíòðàâàðèàíòíûé è øåñòü ðàç êîâàðèàíòíûé, à ñóììèðîâàíèå (ñâ¸ð-
òêà) ïî ν ïðåâðàùàåò åãî â êîâàðèàíòíûé ñïèíîð ïÿòîãî ðàíãà. Àíàëî-
ãè÷íûì ìåòîäîì ìîæíî îïóñòèòü âñå âåðõíèå èíäåêñû ëþáîãî ñïèíîðà
è ïðåâðàòèòü åãî â êîâàðèàíòíûé ñïèíîð.
      Âûøå ìû îòìåòèëè, ÷òî íå ñóùåñòâóåò ïîëíîñòüþ àíòèñèììåòðè÷-
íîãî ñïèíîðà ðàíãà p > n . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êàæäûé ñòîëáåö â ñõåìå
Þíãà ñîäåðæèò íå áîëåå n êëåòîê. Áîëåå òîãî, ïîëíîñòüþ àíòèñèììåò-
ðè÷íûé ñïèíîð n -ãî ðàíãà ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì, òàê ÷òî èõ ìîæíî íå
ðàññìàòðèâàòü. Èòàê, êàæäûé ñòîëáåö ñîäåðæèò íå áîëåå ÷åì n − 1 ñòðîê,
êàæäàÿ èç êîòîðûõ ìîæåò ñîäåðæàòü ëþáîå ÷èñëî êëåòîê. ×èñëà êëåòîê
â ýòèõ ñòðîêàõ   λ1 , λ2 ,..., λn −1 ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþò ñîîòâåòñòâóþùèå
íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå. Èòàê, êàæäîå íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëå-
íèå õàðàêòåðèçóåòñÿ n − 1 öåëûìè ÷èñëàìè     λ1 , λ2 ,..., λn −1 , ÿâëÿþùèìè-
ñÿ ÷èñëàìè êëåòîê â n − 1 ñòðîêàõ â ñîîòâåòñòâóþùåé ñõåìå Þíãà. Âî
                                                              α
ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ýêâèâàëåíòíûå ñïèíîðû, íàïðèìåð òèïà ψ             è ψ [αβγδε ] ,
ôèçè÷åñêè íåýêâèâàëåíòíû è ïîýòîìó íåîáõîäèìî ðàññìîòðåòü îòäåëü-
íî âåðõíèå è íèæíèå èíäåêñû è äëÿ õàðàêòåðèñòèêè ñïèíîðîâ íóæíî
ââåñòè äâå ñõåìû Þíãà: îäíó äëÿ âåðõíèõ èíäåêñîâ, à äðóãóþ äëÿ íèæ-
íèõ. ×òîáû îáðàçîâàòü íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ, íåîáõîäèìî òàê-
æå âû÷åñòü ñëåäû ïî âñåì ïàðàì èíäåêñîâ, ñîäåðæàùèì îäèí âåðõíèé è
îäèí íèæíèé èíäåêñû.
     Òàê êàê ãðóïïà SU (n ) êîìïàêòíà, âñå å¸ íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâ-
ëåíèÿ ìîæíî ñ÷èòàòü óíèòàðíûìè. Îíè âïîëíå ïðèâîäèìû è ðàñïàäà-
þòñÿ íà íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ, à ïîñëåäíèå êîíå÷íîìåðíû.
     Ïðè ïîìîùè èçëîæåííîãî âûøå ìåòîäà ìîæíî èñ÷åðïàòü âñå âîç-
ìîæíûå íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû        SU (n ) .