Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 238 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

238 Ãëàâà äåâÿòàÿ
Ïîëîæèì
α
=
1
1
U , à
β
=
1
2
U , òîãäà ïåðâîå óñëîâèå (9.1.3) áóäåò
âûïîëíÿòüñÿ ïðè
β
kUkU
−=−=
1
2
2
1
è
α
kUkU
==
1
1
2
2
,
ãäå
k
- íåêîòîðîå ÷èñëî.
Óñëîâèÿ (9.1.2) ïðèìóò âèä
1
2222
=+=+
βαβα
kk ,
îòêóäà ñðàçó ñëåäóåò 1=k , èëè
ϕ
i
ek
=
, ãäå
ϕ
äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî.
 ñîîòâåòñòâèè ñ âûøåèçëîæåííûì ìû ìîæåì çàïèñàòü, ÷òî
β
ϕ
i
eU
−=
2
1
,
α
ϕ
i
eU
=
2
2
.
Òîãäà,
()
1
1
2
2
1
2
2
1
1
=+=−
ββαα
ϕ
i
eUUUU
.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî èç óñëîâèé (9.1.3) ñëåäóåò 1=
ϕ
i
e
, ïîëó÷èì
1=+
ββαα
. (9.1.4)
Îêîí÷àòåëüíî, ìàòðèöû ãðóïïû
()
2SU ïðèìóò âèä
−
αβ
βα
, (9.1.5)
ãäå
βα
, - ïðîèçâîëüíûå êîìïëåêñíûå ÷èñëà, óäîâëåòâîðÿþùèå ñîîòíî-
øåíèþ (9.1.4). Ðàçìåðíîñòü ãðóïïû
()
2SU ðàâíà (§4.6, ï.7) òð¸ì.
Âåêòîðû ïðîñòðàíñòâà
()
2C ìû áóäåì íàçûâàòü ñïèíîðàìè, à òåí-
çîðû íàä ïðîñòðàíñòâîì
()
2C - ñïèíòåíçîðàìè.
Ðàññìîòðèì òåïåðü íåêîòîðûå îáùèå ñâîéñòâà íåïðèâîäèìûõ
ïðåäñòàâëåíèé ãðóïïû
()
2SU . Îáîçíà÷èì èíäåêñû ñïèíîðîâ ÷åðåç
,...,ba
. Òàê êàê êàæäûé èíäåêñ ìîæåò ïðèíèìàòü ëèøü äâà çíà÷åíèÿ 1 è
2, òî åäèíñòâåííûìè àíòèñèììåòðè÷íûìè ñïèíîðàìè áóäóò àíòèñèììåò-
ðè÷íûå ñïèíîðû âòîðîãî ðàíãà
ab
ε
è
ab
ε . Âûáåðåì ýòè ñïèíîðû òàê,
238                                                                 Ãëàâà äåâÿòàÿ

    Ïîëîæèì U 1
                       1
                           = α , à U 21 = β , òîãäà ïåðâîå óñëîâèå (9.1.3) áóäåò
âûïîëíÿòüñÿ ïðè
      U 12 = − kU 21 = − kβ è U 22 = kU11 = kα ,
ãäå k - íåêîòîðîå ÷èñëî.
     Óñëîâèÿ (9.1.2) ïðèìóò âèä
         2      2            2        2
      α + β = kα + kβ = 1 ,

îòêóäà ñðàçó ñëåäóåò         k = 1 , èëè k = e iϕ , ãäå ϕ äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî.
      Â ñîîòâåòñòâèè ñ âûøåèçëîæåííûì ìû ìîæåì çàïèñàòü, ÷òî
      U 12 = −e iϕ β ,           U 22 = e iϕ α .
      Òîãäà,
      U 11U 22 − U 12U 21 = e iϕ (αα + ββ ) = 1 .
      Ó÷èòûâàÿ, ÷òî èç óñëîâèé (9.1.3) ñëåäóåò            e iϕ = 1 , ïîëó÷èì
      αα + ββ = 1.                                                        (9.1.4)

      Îêîí÷àòåëüíî, ìàòðèöû ãðóïïû                 SU (2 ) ïðèìóò âèä
       α      β
                ,                                                      (9.1.5)
       − β    α 
ãäå α , β - ïðîèçâîëüíûå êîìïëåêñíûå ÷èñëà, óäîâëåòâîðÿþùèå ñîîòíî-

øåíèþ (9.1.4). Ðàçìåðíîñòü ãðóïïû             SU (2 ) ðàâíà (§4.6, ï.7) òð¸ì.
      Âåêòîðû ïðîñòðàíñòâà           C (2 ) ìû áóäåì íàçûâàòü ñïèíîðàìè, à òåí-
çîðû íàä ïðîñòðàíñòâîì C (2 ) - ñïèíòåíçîðàìè.
     Ðàññìîòðèì òåïåðü íåêîòîðûå îáùèå ñâîéñòâà íåïðèâîäèìûõ
ïðåäñòàâëåíèé ãðóïïû             SU (2 ). Îáîçíà÷èì èíäåêñû ñïèíîðîâ ÷åðåç
a, b,... . Òàê êàê êàæäûé èíäåêñ ìîæåò ïðèíèìàòü ëèøü äâà çíà÷åíèÿ 1 è
2, òî åäèíñòâåííûìè àíòèñèììåòðè÷íûìè ñïèíîðàìè áóäóò àíòèñèììåò-
ðè÷íûå ñïèíîðû âòîðîãî ðàíãà              ε ab è ε ab . Âûáåðåì ýòè ñïèíîðû òàê,

Страницы