Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 240 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

240 Ãëàâà äåâÿòàÿ
{}
{}
q
pqqpq
bb
aabcbcaacc
...
.........
1
11111
...
ψεε
ψ
=
, (9.1.11)
ïðè÷¸ì èç ñèììåòðè÷íîñòè ñïèíîðà
{}
{}
q
p
bb
aa
...
...
1
1
ψ
ïî âåðõíèì èíäåêñàì è ïî
íèæíèì èíäåêñàì ñëåäóåò ñèììåòðè÷íîñòü ñïèíîðà (9.1.11) ïî âñåì èí-
äåêñàì
p
aa
...
1
è ïî âñåì èíäåêñàì
q
cc
...
1
. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñïèíîð
(9.1.11) ñèììåòðè÷åí òàêæå îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè ëþáîé ïàðû èí-
äåêñîâ
i
a
è
j
c
. Äåéñòâèòåëüíî, óìíîæàÿ åãî íà
ij
ac
ε
è ñóììèðóÿ ïî
i
a
è
j
c
, ïîëó÷èì, ñîãëàñíî (9.1.7) è (9.1.10),
{}
{}
{}
{}
.0......
......
......
......
......
..................
1
111
1
11111
=−=
==
qj
piqq
i
j
qj
piqqjj
ij
piqj
ij
bbb
aaabc
a
bbc
bbb
aaabcbcbc
ac
aaaccc
ac
ψεδε
ψεεεεψε
Òàêèì îáðàçîì, åñëè ñëåäû (9.1.10) ðàâíû íóëþ, òî êîâàðèàíòíûé
ñïèíîð (9.1.11) ñèììåòðè÷åí ïî âñåì ïåðåñòàíîâêàì âñåõ èíäåêñîâ:
{}
{}
{}
qp
q
pqq
ccaa
bb
aabcbc
......
...
...
11
1
111
...
ψψεε
=
. (9.1.12)
Ñïèíîð
{}
{}
q
p
bb
aa
...
...
1
1
ψ
òàê æå ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç
{}
qp
caa
......
11
ψ
{}
{}
{}
qp
qqq
p
ccaa
cb
cb
bb
aa
......
...
...
11
11
1
1
...
ψεε
ψ
=
. (9.1.13)
Òàêèì îáðàçîì âñå íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû
()
2SU ìî-
ãóò áûòü ðàññìîòðåíû êàê êîâàðèàíòíûå ñèììåòðè÷åñêèå ñïèíîðû
{}
r
aa
...
1
ψ
, ñîîòâåòñòâóþùèå ñõåìå Þíãà, ñîñòîÿùåé èç ñòðîêè ñ r êâàä-
ðàòàìè.
 ñîîòâåòñòâèè ñ §8.6 ñèììåòðè÷íûå êîâàðèàíòíûå ñïèíîðû ìîæ-
íî ïîëó÷èòü ñèììåòðèçàöèåé ïðîèçâîëüíûõ ñïèíîðîâ ñ êîìïîíåíòàìè
r
aa
...
1
ψ
, ÿâëÿþùèõñÿ âåêòîðàìè â ïðîñòðàíñòâå
r
C
, ïðåîáðàçóþùåìñÿ
ïî ïðåäñòàâëåíèþ
ðàçr
UU
⊗⊗... . Òàê êàê ëþáîé âåêòîð â
r
C
îïðåäåëÿåò-
ñÿ ôîðìóëîé
r
r
aa
aa
...
...
1
1
eø
ψ
= , ãäå
r
aa
...
1
e - îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ â
r
C
, òî ñèììåòðè÷íûå ñïèíîðû ÿâëÿþòñÿ âåêòîðàìè â ïîäïðîñòðàíñòâå
240                                                                                                                 Ãëàâà äåâÿòàÿ

                                                               {b ...b }
       ψ c1 ...c q a1 ...a p = ε c1b1 ...ε cq bqψ {a11 ...aqp },                                                                 (9.1.11)
                                                                                 {b ...b }
ïðè÷¸ì èç ñèììåòðè÷íîñòè ñïèíîðà ψ {a11 ...aqp } ïî âåðõíèì èíäåêñàì è ïî
íèæíèì èíäåêñàì ñëåäóåò ñèììåòðè÷íîñòü ñïèíîðà (9.1.11) ïî âñåì èí-
äåêñàì      a1...a p è ïî âñåì èíäåêñàì c1...cq . Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñïèíîð
(9.1.11) ñèììåòðè÷åí òàêæå îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè ëþáîé ïàðû èí-
           ai è c j . Äåéñòâèòåëüíî, óìíîæàÿ åãî íà ε
                                                                                                      c j ai
äåêñîâ                                                                                                         è ñóììèðóÿ ïî            ai
è   c j , ïîëó÷èì, ñîãëàñíî (9.1.7) è (9.1.10),
                                                                                                          {b ...b          }
       ε            ψ c1 ...c j ...cq a1 ...ai ...a p = ε             ε c1b1 ...ε c j b j ...ε c q bqψ {a11 ...aij ...a qp } =
           c j ai                                            c j ai                                                 ...b


                                                                                        {b ...b ...b }
                                                       = −ε c1b1 ...δ baji ...ε c q bqψ {a11 ...aij ...a qp } = 0.
    Òàêèì îáðàçîì, åñëè ñëåäû (9.1.10) ðàâíû íóëþ, òî êîâàðèàíòíûé
ñïèíîð (9.1.11) ñèììåòðè÷åí ïî âñåì ïåðåñòàíîâêàì âñåõ èíäåêñîâ:
                                  {b ...b }
       ε c1b1 ...ε cq bqψ {a11 ...aqp } = ψ {a1 ...a p c1 ...cq } .                                                              (9.1.12)
                                {b ...b }
       Ñïèíîð               ψ {a11 ...aqp } òàê æå ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ψ {a1 ...a p c1 ...q }
            {b ...b }
       ψ {a11...aqp } = ε b1c1 ...ε                   ψ {a1 ...a p c1 ...cq }.
                                             bq c q
                                                                                                                                 (9.1.13)

    Òàêèì îáðàçîì âñå íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû SU (2 ) ìî-
ãóò áûòü ðàññìîòðåíû êàê êîâàðèàíòíûå ñèììåòðè÷åñêèå ñïèíîðû
ψ {a1 ...a r } , ñîîòâåòñòâóþùèå ñõåìå Þíãà, ñîñòîÿùåé èç ñòðîêè ñ r êâàä-
ðàòàìè.
      ñîîòâåòñòâèè ñ §8.6 ñèììåòðè÷íûå êîâàðèàíòíûå ñïèíîðû ìîæ-
íî ïîëó÷èòü ñèììåòðèçàöèåé ïðîèçâîëüíûõ ñïèíîðîâ ñ êîìïîíåíòàìè
ψ a1 ...a r , ÿâëÿþùèõñÿ âåêòîðàìè â ïðîñòðàíñòâå Cr , ïðåîáðàçóþùåìñÿ
ïî ïðåäñòàâëåíèþ U                       ⊗ ... ⊗ U . Òàê êàê ëþáîé âåêòîð â Cr îïðåäåëÿåò-
                                            r ðàç


ñÿ ôîðìóëîé               ø = ψ a1 ...ar e a1 ...a r , ãäå e a1 ...a r - îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ â
Cr , òî ñèììåòðè÷íûå ñïèíîðû ÿâëÿþòñÿ âåêòîðàìè â ïîäïðîñòðàíñòâå

Страницы