Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 241 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

241Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï SU(2) è SU(3)
s
r
C
ñ áàçèñîì
{}
()
()
∑
∑
=
r
r
r
r
r
aaP
aa
aaP
aa
aa
e
...
...
...
...
...
1
1
1
1
1
e
e , (9.1.14)
ãäå
()
∑
r
aaP
...
1
îáîçíà÷àåò ñóììèðîâàíèå ïî âñåì ïåðåñòàíîâêàì èíäåêñîâ
r
aa
...
1
.
9.1.2. Èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû ãðóïïû
()
2SU
 êà÷åñòâå ãåíåðàòîðîâ ãðóïïû
()
2SU ìû ìîæåì âûáðàòü ìàòðè-
öû Ïàóëè:
321
,,
σσσ
(ñì. §6.6., ï.5)
=
01
10
2
1
1
σ
,
−
=
0
0
2
1
1
i
i
σ
,
−
=
10
01
2
1
1
σ
, (6.6.13)
à â êà÷åñòâå ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ èíôèíèòåçèìàëüíûõ îïåðàòîðîâ
i
J
,
îïåðàòîðû (7.4.7), ñîâïàäàþùèå ñ îïåðàòîðàìè óãëîâîãî ìîìåíòà. Òà-
êèì îáðàçîì, ìû ìîæåì äëÿ îïåðàòîðîâ
i
J
èñïîëüçîâàòü ñîîòíîøåíèÿ,
ïîëó÷åííûå â §7.4., òî åñòü äëÿ äàííîãî j îïåðàòîð
3
J
()
z
J
èìååò 12 +j
ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé jjjj ,1,...,1,
−+−−
è äëÿ ëþáîãî
{}
r
aa
...
1
e
{}
()
{}
rr
aaaa
jj
......
2
11
1
eeJ
+=
. (9.1.15)
Äëÿ áàçèñà
r
aa
...
1
e ìû ìîæåì òàêæå çàïèñàòü
()
()()
rriiii
rr
ba
r
i
baibaba
bbaa
i
J
δδσδδ
∑
=
+−+−−
=
1
......
......
11111
11
. (9.1.16)
Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï SU(2) è SU(3)                                                                                   241

Crs ñ áàçèñîì


                                    (
                                      ∑ e)    a1 ...a r


         e{a1 ...a r } =        P a1 ...a r
                                                          ,                                                   (9.1.14)

                                    (
                                      ∑ e)
                                P a1 ...a r
                                              a1 ...a r




ãäå      ∑
      P (a1 ...a r )
                           îáîçíà÷àåò ñóììèðîâàíèå ïî âñåì ïåðåñòàíîâêàì èíäåêñîâ


a1...ar .

9.1.2. Èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû ãðóïïû SU (2 )

         êà÷åñòâå ãåíåðàòîðîâ ãðóïïû                                     SU (2 ) ìû ìîæåì âûáðàòü ìàòðè-
öû Ïàóëè:              σ 1 ,σ 2 ,σ 3 (ñì. §6.6., ï.5)

              1 0 1                                         1 0 − i                       1 1 0 
         σ 1 =        , σ1 =                                         , σ1 =                        ,   (6.6.13)
              2  1 0                                       2  i 0                      2  0 − 1
à â êà÷åñòâå ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ èíôèíèòåçèìàëüíûõ îïåðàòîðîâ                                                       Ji ,
îïåðàòîðû (7.4.7), ñîâïàäàþùèå ñ îïåðàòîðàìè óãëîâîãî ìîìåíòà. Òà-
êèì îáðàçîì, ìû ìîæåì äëÿ îïåðàòîðîâ                                               J i èñïîëüçîâàòü ñîîòíîøåíèÿ,
ïîëó÷åííûå â §7.4., òî åñòü äëÿ äàííîãî                                     j îïåðàòîð J 3 (J z ) èìååò 2 j + 1
ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé                             − j ,− j + 1,..., j − 1, j è äëÿ ëþáîãî e{a1 ...a r }
         J 2e{a1 ...ar } = j ( j + 1)e{a1 ...a r } .                                                          (9.1.15)

        Äëÿ áàçèñà                  e a1 ...a r ìû ìîæåì òàêæå çàïèñàòü
                                                   r
         (J i )(a ...a )(b ...b ) = ∑ δ a b ...δ a
                       1    r   1     r                       1 1   i −1bi −1
                                                                                σ iδ ai+1bi−+ ...δ a r br .   (9.1.16)
                                                 i =1

Страницы