Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 239 стр.

Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï SU(2) è SU(3)                                                         239

÷òîáû   ε ab = −ε ab , íàïðèìåð
      ε12 = − ε 21 = ε 21 = − ε12 = 1 .                                             (9.1.6)
     Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî
      ε abε bc = ε cbε ba = δ ca .                                                  (9.1.7)

     Ñïèíîðû ε è                       ε ab ïîçâîëÿþò ïîäíèìàòü èëè îïóñêàòü èíäåêñû
                             ab

ñïèíîðîâ. Íàïðèìåð,
     ψ a = ε abψ b ; ψ a = ε abψ b ,                                                (9.1.8)

òî åñòü êîíòðàâàðèàíòíûé ñïèíîð ψ ýêâèâàëåíòåí êîâàðèàíòíîìó ñïè-
                                                         a


íîðó ψ a . Àíàëîãè÷íî ñïèíîðû ψ ab è ψ
                                                             ab
                                                                  ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèÿìè

     ψ ab = ε acψ bc ; ψ ba = ε acψ cb .                                            (9.1.9)

     Åñëè ψ b èìååò íóëåâîé ñëåä, òî ψ ab ñèììåòðè÷åí. Äåéñòâèòåëüíî,
                    a



åñëè ψ a    = 0 , òî ñîãëàñíî (9.1.7)
        a



      ε abψ ab = ε abε acψ bc = −ε baε acψ bc = −δ cbψ bc = −ψ cc = 0 ,
à ðàâåíñòâî íóëþ ïðîèçâåäåíèÿ ε                      ψ ab îçíà÷àåò, ÷òî ψ ab = ψ ba . Îáðàò-
                                                    ab



íî, åñëè ψ ab       = ψ ba , òî ψ aa = ε acψ ca = 0 , òî åñòü ψ aa èìååò íóëåâîé ñëåä.
Èòàê, íåïðèâîäèìûé ñèììåòðè÷íûé ñïèíîð ψ {ab} ïîëíîñòüþ ýêâèâàëåí-

òåí ñìåøàííîìó ñïèíîðó ψ b ñ íóëåâûì ñëåäîì.
                                                a


     Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé íåïðèâîäèìûé ñìåøàííûé ñïèíîð
  {b ...b }
ψ {a11 ...aqp } , äëÿ êîòîðîãî ñëåäû ïî âñåì ïàðàì èíäåêñîâ ai è b j ðàâíû
íóëþ:
         {b ...b                  }
     ψ {a11 ...aij−−11caij++11...a pq } = 0 .
                    cb     ...b
                                                                                    (9.1.10)

     Îïóñêàÿ âñå âåðõíèå èíäåêñû ñ ïîìîùüþ                          ε ab , ïîëó÷àåì êîâàðèàí-
òíûé ñïèíîð ðàíãà p + q :