Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 242 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

242 Ãëàâà äåâÿòàÿ
9.1.3. Ïðèìåðû ñïèíîðîâ íèçøèõ ðàíãîâ
Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ñïèíîðû íèçøèõ ðàíãîâ, õàðàêòåðèçóþùèå
ñîñòîÿíèÿ ñ ìîìåíòàìè
2
1
=j è
1
=
j
.
1.
2
1
=j . Ñîñòîÿíèÿ ñ
2
1
=j îïèñûâàþòñÿ ñïèíîðîì
a
ψ
èëè ýê-
âèâàëåíòíûì åìó ñïèíîðîì
a
ψ
,
2,1
=
a
. Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà êîâàðè-
àíòíûé ñïèíîð
a
ψ
. Áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå
1
C , ïðåîáðàçóþùåìñÿ ïî äàí-
íîìó ïðåäñòàâëåíèþ, ñîñòîèò èç âåêòîðîâ
1
e
è
2
e
. Êàæäûé ñïèíîð ïðåä-
ñòàâèì â âèäå ñòîëáöà ñ äâóìÿ ýëåìåíòàìè:
=
2
1
ψ
ψ
ø .
Òîãäà
=
0
1
1
e , à
=
1
0
2
e . (9.1.17)
Ñîãëàñíî (6.6.13) è (9.1.16), èìååì
11
3
2
1
ee =J ,
22
3
2
1
ee −=J . (9.1.18)
Åñëè âìåñòî
a
ψ
ìû âîçüì¸ì
b
aba
ψε
ψ
= , òî äëÿ
1
e
()
0,1
21
==
ψψ
èìååì 0
1
=
ψ
, 1
2
=
ψ
,
à äëÿ
2
e
()
1,0
21
==
ψψ
èìååì 1
1
−=
ψ
, 0
2
=
ψ
.
Òàêèì îáðàçîì, ìåæäó áàçèñîì
a
e
â ïðîñòðàíñòâå
1
C è áàçèñîì
a
f â ïðîñòðàíñòâå
1
C èìååò ìåñòî ñîîòâåòñòâèå
2
1
fe ↔ ,
1
2
fe −↔ . (9.1.19)
242                                                                    Ãëàâà äåâÿòàÿ

9.1.3. Ïðèìåðû ñïèíîðîâ íèçøèõ ðàíãîâ

        Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ñïèíîðû íèçøèõ ðàíãîâ, õàðàêòåðèçóþùèå
                                       1
ñîñòîÿíèÿ ñ ìîìåíòàìè           j=       è j = 1.
                                       2
                  1                   1
        1.   j=     . Ñîñòîÿíèÿ ñ j =   îïèñûâàþòñÿ ñïèíîðîì ψ a èëè ýê-
                  2                   2
âèâàëåíòíûì åìó ñïèíîðîì               ψ a , a = 1,2 . Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà êîâàðè-
àíòíûé ñïèíîð ψ a . Áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå             C1 , ïðåîáðàçóþùåìñÿ ïî äàí-
                                                       1
íîìó ïðåäñòàâëåíèþ, ñîñòîèò èç âåêòîðîâ e è                e 2 . Êàæäûé ñïèíîð ïðåä-
ñòàâèì â âèäå ñòîëáöà ñ äâóìÿ ýëåìåíòàìè:

             ψ 
        ø =  1  .
             ψ 2 
        Òîãäà

              1             0
        e1 =   , à e 2 =   .                                        (9.1.17)
              0            1
        Ñîãëàñíî (6.6.13) è (9.1.16), èìååì
               1               1
        J 3e1 = e1 , J 3e 2 = − e 2 .                                       (9.1.18)
               2               2
        Åñëè âìåñòî ψ a ìû âîçüì¸ì ψ              = ε abψ b , òî äëÿ
                                              a



        e1 (ψ 1 = 1,ψ 2 = 0 ) èìååì ψ 1 = 0 , ψ 2 = 1 ,
à äëÿ
        e 2 (ψ 1 = 0,ψ 2 = 1) èìååì ψ 1 = −1 , ψ 2 = 0 .
        Òàêèì îáðàçîì, ìåæäó áàçèñîì              e a â ïðîñòðàíñòâå C1 è áàçèñîì
f a â ïðîñòðàíñòâå C1 èìååò ìåñòî ñîîòâåòñòâèå
        e1 ↔ f 2 , e 2 ↔ −f1 .                                              (9.1.19)

Страницы