Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 244 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

244 Ãëàâà äåâÿòàÿ
Ðàññìîòðèì áîëåå ïîäðîáíî ñïèíîð
a
b
ψ
. Ðàíåå ìû óñòàíîâèëè (ñì.
(8.6.10)), ÷òî ëþáîé ñïèíîð
a
b
Φ ðàçëàãàåòñÿ íà äâà îðòîãîíàëüíûõ ñïè-
íîðà, îäèí èç êîòîðûõ èìååò íóëåâîé ñëåä, à äðóãîé êðàòåí
a
b
δ
:
c
c
a
b
c
c
a
b
a
b
a
b
Φ+
Φ−Φ=Φ
δδ
2
1
2
1
.
Ñîîòâåòñòâåííî, ïðîñòðàíñòâî
11
C ñ áàçèñîì
a
b
f , ïðåîáðàçóþùåå-
ñÿ ïî ïðåäñòàâëåíèþ UU ⊗ , ðàçëàãàåòñÿ íà äâà îðòîãîíàëüíûõ ïîä-
ïðîñòðàíñòâà. Ñïèíîðû, êðàòíûå
a
b
δ
, ïðèíàäëåæàò îäíîìåðíîìó ïîä-
ïðîñòðàíñòâó ñ áàçèñîì
()
2
2
1
1
2
1
2
1
fff
+==
b
a
a
b
δδ
. (9.1.25)
Âòîðîå ïîäïðîñòðàíñòâî, âñå âåêòîðû êîòîðîãî îðòîãîíàëüíû
δ
,
èìååò áàçèñ
1
2
f ,
()
2
21
1
1
2
1
ff
−
,
2
1
f . (9.1.26)
Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî
1
2
1
23
ff =J , 0
2
2
2
1
1
3
=
±
ff
J ,
2
1
2
13
ff −=J (9.1.27)
è ìû ìîæåì ïîëîæèòü
1
2
ff −=
+
,
2
2
2
1
1
0
ff
f
−
= ,
2
1
ff =
−
. (1.9.28)
Åñëè ïðåäñòàâèòü ñïèíîðû â âèäå ìàòðèöû
=
2
2
1
2
2
1
1
1
ψψ
ψψ
ø ,
òî ïîëó÷èì
244                                                                    Ãëàâà äåâÿòàÿ

      Ðàññìîòðèì áîëåå ïîäðîáíî ñïèíîð ψ b . Ðàíåå ìû óñòàíîâèëè (ñì.
                                                           a



(8.6.10)), ÷òî ëþáîé ñïèíîð            Φ ba ðàçëàãàåòñÿ íà äâà îðòîãîíàëüíûõ ñïè-
íîðà, îäèí èç êîòîðûõ èìååò íóëåâîé ñëåä, à äðóãîé êðàòåí                  δ ba :

                    1           1
      Φ ba =  Φ ba − δ ba Φ cc  + δ ba Φ cc .
                    2           2
      Ñîîòâåòñòâåííî, ïðîñòðàíñòâî                 C1 1 ñ áàçèñîì f ba , ïðåîáðàçóþùåå-
ñÿ ïî ïðåäñòàâëåíèþ           U ⊗ U , ðàçëàãàåòñÿ íà äâà îðòîãîíàëüíûõ ïîä-
ïðîñòðàíñòâà. Ñïèíîðû, êðàòíûå                   δ ba , ïðèíàäëåæàò îäíîìåðíîìó ïîä-
ïðîñòðàíñòâó ñ áàçèñîì

      δ=
               1 a b
                  δ b fa =
                           1 1 2
                                   (
                              f1 + f 2 .     )                                (9.1.25)
                2           2
     Âòîðîå ïîäïðîñòðàíñòâî, âñå âåêòîðû êîòîðîãî îðòîãîíàëüíû                      δ,
èìååò áàçèñ

      f 21 ,      (
               1 1 2
                             )
                  f1 − f 21 , f12 .                                           (9.1.26)
                2
      Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî

                             f11 ± f 22 
      J f =f
           1
         3 2
                  1
                  2,   J 3              = 0 , J 3f12 = −f12               (9.1.27)
                                  2 
è ìû ìîæåì ïîëîæèòü

                            f11 − f 22
      f + = −f   1
                 2,    f0 =            , f − = f1 .
                                                 2
                                                                              (1.9.28)
                                 2
      Åñëè ïðåäñòàâèòü ñïèíîðû â âèäå ìàòðèöû

           ψ 1 ψ 12 
      ø =  11    2
                     ,
            ψ
            2  ψ 2 

òî ïîëó÷èì

Страницы