Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 243 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

243Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï SU(2) è SU(3)
Èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû
i
J
êîíòðàâàðèàíòíîãî ïðåäñòàâ-
ëåíèÿ
a
ψ
ñâÿçàíû ñ èíôèíèòåçèìàëüíûìè îïåðàòîðàìè
i
σ
ôóíäàìåí-
òàëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ
a
ψ
ñîîòíîøåíèåì
()
T
iii
J
σσ
−==
. (9.1.20)
Ïîýòîìó
223
2
1
ff =J ,
113
2
1
ff −=J , (9.1.21)
÷òî ñîãëàñóåòñÿ ñ (9.1.19).
2. 1=j . Ñîñòîÿíèÿ ñ 1=j ìîæíî îïèñûâàòü ïðè ïîìîùè ñèììåò-
ðè÷íîãî êîâàðèàíòíîãî ñïèíîðà âòîðîãî ðàíãà
{}
ab
ψ
. Ïóñòü
ab
e
- áàçèñ
â ïðîñòðàíñòâå
2
C , ïðåîáðàçóþùåìñÿ ïî ïðåäñòàâëåíèþ
UU ⊗
, òîãäà
ñèììåòðè÷íûìè ñïèíîðàìè ÿâëÿþòñÿ âåêòîðû ïîäïðîñòðàíñòâà
s
C
2
ñ
áàçèñîì
{}
1111
ee
=
,
{}
()
211212
2
1
eee
+=
,
{}
2222
ee
=
.
Ñîãëàñíî (9.1.16) èìååì
() ()
ba
bb
i
ba
aa
i
ab
i
J
′
′
′
′
+=
eee
σσ
, (9.1.22)
è, â ÷àñòíîñòè,
{} {}
1111
3
ee
=
J ,
{}
0
12
3
=
eJ ,
{} {}
2222
3
ee
−=
J (9.1.23)
è ìû ìîæåì ïîëîæèòü
{}
11
ee
=
+
,
{}
12
0
ee
=
,
{}
22
ee
=
−
. (9.1.24)
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñîñòîÿíèÿ ñ 1=j ìîæíî îïèñûâàòü ñ ïîìîùüþ
êîíòðàâàðèàíòíîãî ñèììåòðè÷íîãî ñïèíîðà
ab
ψ
èëè ñìåøàííîãî ñïè-
íîðà
a
b
ψ
ñ íóëåâûì ñëåäîì.
Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï SU(2) è SU(3)                                                        243

     Èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû                           J i êîíòðàâàðèàíòíîãî ïðåäñòàâ-
ëåíèÿ ψ                                                                       σ i ôóíäàìåí-
              a
                  ñâÿçàíû ñ èíôèíèòåçèìàëüíûìè îïåðàòîðàìè

òàëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ψ a ñîîòíîøåíèåì

      J i = σ i = −(σ i ) .
                            T
                                                                                   (9.1.20)
     Ïîýòîìó
              1               1
      J 3f 2 = f 2 , J 3f1 = − f1 ,                                                (9.1.21)
              2               2
÷òî ñîãëàñóåòñÿ ñ (9.1.19).



     2.   j = 1 . Ñîñòîÿíèÿ ñ j = 1 ìîæíî îïèñûâàòü ïðè ïîìîùè ñèììåò-
ðè÷íîãî êîâàðèàíòíîãî ñïèíîðà âòîðîãî ðàíãà ψ {ab} . Ïóñòü                       e ab - áàçèñ
â ïðîñòðàíñòâå        C 2 , ïðåîáðàçóþùåìñÿ ïî ïðåäñòàâëåíèþ U ⊗ U , òîãäà
ñèììåòðè÷íûìè ñïèíîðàìè ÿâëÿþòñÿ âåêòîðû ïîäïðîñòðàíñòâà                               C 2s ñ
áàçèñîì

     e{11} = e11 , e{12} =
                                   1 12
                                       (               )
                                      e + e 21 , e{22} = e 22 .
                                    2
     Ñîãëàñíî (9.1.16) èìååì
      J i e ab = (σ i )a′a e a′b + (σ i )b′b e ab′ ,                               (9.1.22)
è, â ÷àñòíîñòè,
      J 3e {11} = e{11} , J 3e {12} = 0 , J 3e {22} = −e {22}                      (9.1.23)
è ìû ìîæåì ïîëîæèòü
     e + = e{11} , e 0 = e{12} , e − = e{22} .                                     (9.1.24)

     Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñîñòîÿíèÿ ñ                     j = 1 ìîæíî îïèñûâàòü ñ ïîìîùüþ
êîíòðàâàðèàíòíîãî ñèììåòðè÷íîãî ñïèíîðà ψ
                                                                   ab
                                                                        èëè ñìåøàííîãî ñïè-

íîðà ψ b ñ íóëåâûì ñëåäîì.
          a

Страницы