Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 249 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

249Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï SU(2) è SU(3)
u
2
α
± ,
v
2
α
± íà îñè
Oy
ñîîòâåòñòâåííî, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èì òàê
íàçûâàåìóþ êîðíåâóþ äèàãðàììó ãðóïïû
()
3SU , à âåêòîðû ñ äàííûìè
êîìïîíåíòàìè íàçîâ¸ì êîðíÿìè (Ðèñ. 9.2.1).
9.2.2. Íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû
()
3SU
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé ãðóïïû
()
3SU âîñ-
ïîëüçóåìñÿ òåîðèåé èçëîæåííîé â ãë.VIII. Îáîçíà÷èì ñïèíîðíûå èíäåê-
ñû ÷åðåç ,...,
βα
. Ïîñêîëüêó êàæäûé èíäåêñ ïðèíèìàåò ëèøü òðè çíà÷å-
íèÿ, òî íå ñóùåñòâóåò ïîëíîñòüþ àíòèñèììåòðè÷íîãî ñïèíîðà ðàíãà
áîëüøå 3. Ïîëíîñòüþ àíòèñèììåòðè÷íûå ñïèíîðû òðåòüåãî ðàíãà
αβγ
ε
è
αβγ
ε
ÿâëÿþòñÿ èíâàðèàíòàìè. Âûáåðåì ýòè ñïèíîðû òàê, ÷òîáû
1
123
123
==
εε
. Ïðè ïîìîùè ýòèõ ñïèíîðîâ ìîæíî ïðåâðàùàòü êàæäóþ
ïàðó àíòèñèììåòðè÷íûõ âåðõíèõ èíäåêñîâ â íèæíèé è íàîáîðîò:
Ðèñ. 9.2.1.
a
v
-a
v
-a
u
a
u
a
t
-a
t
0
Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï SU(2) è SU(3)                                   249

± α 2u , ± α 2v íà îñè Oy ñîîòâåòñòâåííî, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èì òàê
íàçûâàåìóþ êîðíåâóþ äèàãðàììó ãðóïïû SU (3) , à âåêòîðû ñ äàííûìè
êîìïîíåíòàìè íàçîâ¸ì êîðíÿìè (Ðèñ. 9.2.1).



                            av
                                             au




                 -at               0                at




                            -au              -av

                                             Ðèñ. 9.2.1.




9.2.2. Íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû SU (3)

     Äëÿ ïîñòðîåíèÿ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé ãðóïïû SU (3) âîñ-
ïîëüçóåìñÿ òåîðèåé èçëîæåííîé â ãë.VIII. Îáîçíà÷èì ñïèíîðíûå èíäåê-
ñû ÷åðåç α , β ,... . Ïîñêîëüêó êàæäûé èíäåêñ ïðèíèìàåò ëèøü òðè çíà÷å-
íèÿ, òî íå ñóùåñòâóåò ïîëíîñòüþ àíòèñèììåòðè÷íîãî ñïèíîðà ðàíãà
áîëüøå 3. Ïîëíîñòüþ àíòèñèììåòðè÷íûå ñïèíîðû òðåòüåãî ðàíãà       ε αβγ
è   ε αβγ ÿâëÿþòñÿ èíâàðèàíòàìè. Âûáåðåì ýòè ñïèíîðû òàê, ÷òîáû
ε 123 = ε 123 = 1 . Ïðè ïîìîùè ýòèõ ñïèíîðîâ ìîæíî ïðåâðàùàòü êàæäóþ
ïàðó àíòèñèììåòðè÷íûõ âåðõíèõ èíäåêñîâ â íèæíèé è íàîáîðîò:

Страницы