Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 250 стр.

250                                                               Ãëàâà äåâÿòàÿ

       ψ α = ε αβγψ [βγ ] = ε αβγ ψ [βγ ] .                             (9.2.12)

     Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñå íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû SU (3)
ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñïèíîðû, ñèììåòðè÷íûå ïî âñåì âåðõíèì èí-
äåêñàì è ïî âñåì íèæíèì èíäåêñàì è èìåþùèå íóëåâûå ñëåäû.
     Íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå ñïèíîðó ñ p âåð-

õíèìè è     q íèæíèìè ñèììåòðè÷íûìè èíäåêñàìè, îáîçíà÷èì D(q, p ) .
Òàê,D(q,0) ñîîòâåòñòâóåò êîâàðèàíòíîìó ñïèíîðó ðàíãà q , à D(0, p )-
êîíòðàâàðèàíòíîìó ñïèíîðó ðàíãà p .
     Ïîäñ÷èòàåì ÷èñëî íåçàâèñèìûõ êîìïîíåíò êîâàðèàíòíîãî ñïèíî-
ðà ðàíãà q . Åñëè êàæäûé èíäåêñ ïðèíèìàë áû òîëüêî äâà çíà÷åíèÿ, òî
÷èñëî íåçàâèñèìûõ êîìïîíåíò ýòîãî ñïèíîðà áûëî áû ðàâíî                q + 1 , êàê
ýòî èìååò ìåñòî äëÿ ãðóïïû            SU (2 ).  äàííîì ñëó÷àå êàæäûé èíäåêñ
ïðèíèìàåò òðè çíà÷åíèÿ. Ðàññìîòðèì êîìïîíåíòû, äëÿ êîòîðûõ                 q′ èí-
äåêñîâ ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ 1 è 2, à            q − q ′ îñòàëüíûõ èíäåêñî⠖ çíà÷å-
íèÿ 3. ×èñëî òàêèõ êîìïîíåíò ðàâíî            q′ + 1 . Òàê êàê q′ ìåíÿåòñÿ îò íóëÿ
äî q , òî ÷èñëî âñåõ êîìïîíåíò ñèììåòðè÷íîãî êîâàðèàíòíîãî ñïèíîðà
ðàíãà q ðàâíî
                      q
       N (q,0) = ∑ (q′ + 1) =         (q + 1)(q + 2) .
                                    1
                     q′=0           2
     Àíàëîãè÷íî ÷èñëî íåçàâèñèìûõ êîìïîíåíò ñèììåòðè÷íîãî êîíòðà-
âàðèàíòíîãî ñïèíîðà ðàíãà p ðàâíî

       N (0, p ) =      ( p + 1)( p + 2).
                      1
                      2
       Ðàññìîòðèì òåïåðü ñìåøàííûé ñïèíîð ðàíãà p + q ,              q ðàç êîâà-
                                                    β ... β
ðèàíòíûé è       p ðàç êîíòðàâàðèàíòíûé, ψ α11...α qp .
       ×èñëî êîìïîíåíò òàêîãî ñìåøàííîãî ñïèíîðà áûëî áû ðàâíî