Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 252 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

252 Ãëàâà äåâÿòàÿ
()
10314
2
1
3,0
=⋅⋅⋅=
N ,
()
27633
2
1
2,2
=⋅⋅⋅=
N .
Èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû ïðåäñòàâëåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå
ãåíåðàòîðàì
±±±
vut ,, è
i
h
, îáîçíà÷èì ÷åðåç
±±±
VUT ,, è
i
H
ñîîòâåò-
ñòâåííî, à èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû, ñîîòâåòñòâóþùèå ãåíåðàòî-
ðàì
i
λ
÷åðåç
i
Λ . Äëÿ êîâàðèàíòíîãî ñïèíîðà ïåðâîãî ðàíãà
() ()
αβαβ
λ
ii
=Λ
,
à äëÿ êîíòðàâàðèàíòíîãî ñïèíîðà ïåðâîãî ðàíãà
()
()
( )
()
βααβαβαβ
λλλ
i
T
iii
−=−==Λ
.
Åñëè â ïðîñòðàíñòâå
pq
C
, ïðåîáðàçóþùåìñÿ ïî ïðåäñòàâëåíèþ
ðàç ðàç pq
UUUU
⊗⊗⊗⊗⊗ ...... ,
âûáåðåì îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ
q
p
αα
ββ
...
...
1
1
e , òî äåéñòâèå èíôèíèòåçèìàëü-
íîãî îïåðàòîðà
i
Λ íà ýòè âåêòîðû âûðàçèòñÿ ôîðìóëîé
()
()
.
1
...
......
1
......
...
...
...
1
111
111
1
1
1
∑
∑
=
′
′
=
′
′
+−
+−
−
−=Λ
p
r
T
i
q
r
ii
q
prrr
rr
qrrr
p
rr
q
p
αα
βββββ
ββ
ααααα
ββ
αα
αα
ββ
λ
λ
e
ee
(9.2.14)
Òàê êàê ãåíåðàòîðû
i
h
äèàãîíàëüíû, òî ñîîòâåòñòâóþùèå èì èí-
ôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû
i
H
òàêæå áóäóò äèàãîíàëüíû. Îáîçíà÷èì
÷èñëà êîâàðèàíòíûõ èíäåêñîâ, ðàâíûõ 1,2 è 3 ÷åðåç
()
1q ,
()
2q è
()
3q
ñîîòâåòñòâåííî, à ÷èñëà êîíòðàâàðèàíòíûõ èíäåêñîâ -
()
1p ,
()
2p è
252                                                                                       Ãëàâà äåâÿòàÿ


       N (0,3) =
                       1
                         ⋅ 4 ⋅ 1 ⋅ 3 = 10 ,
                       2

       N (2,2 ) =
                       1
                         ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 6 = 27 .
                       2
      Èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû ïðåäñòàâëåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå
ãåíåðàòîðàì          t± , u± , v± è hi , îáîçíà÷èì ÷åðåç T± ,U ± ,V± è H i ñîîòâåò-
ñòâåííî, à èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû, ñîîòâåòñòâóþùèå ãåíåðàòî-
ðàì   λi ÷åðåç Λ i . Äëÿ êîâàðèàíòíîãî ñïèíîðà ïåðâîãî ðàíãà
      (Λ i )αβ = (λi )αβ ,
à äëÿ êîíòðàâàðèàíòíîãî ñïèíîðà ïåðâîãî ðàíãà
      (Λ i )αβ = (λi )αβ        = − λTi( )          αβ
                                                         = −(λi )βα .

      Åñëè â ïðîñòðàíñòâå                 Cqp , ïðåîáðàçóþùåìñÿ ïî ïðåäñòàâëåíèþ

      U ⊗ ... ⊗ U ⊗ U ⊗ ... ⊗ U ,
            q ðàç                    p ðàç

                                                                   α ...α
âûáåðåì îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ e β11 ...βqp , òî äåéñòâèå èíôèíèòåçèìàëü-

íîãî îïåðàòîðà          Λ i íà ýòè âåêòîðû âûðàçèòñÿ ôîðìóëîé
                           q
      Λ i e β11 ...βqp = ∑ (λi )α rα r′ e β11 ...βrp−1
            α ...α                              α ...α      α r′α r +1 ...α q
                                                                                  −
                         r =1
                                                                                                 (9.2.14)
                                ( )
                          p
                      − ∑ λTi
                                                α1 ...α q
                                     β r β r′
                                                e
                                                β1 ...β r −1β r′ β r +1 ... β p   .
                         r =1


      Òàê êàê ãåíåðàòîðû                   hi äèàãîíàëüíû, òî ñîîòâåòñòâóþùèå èì èí-
ôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû                            H i òàêæå áóäóò äèàãîíàëüíû. Îáîçíà÷èì
÷èñëà êîâàðèàíòíûõ èíäåêñîâ, ðàâíûõ 1,2 è 3 ÷åðåç                                     q (1) , q (2 ) è q (3)
ñîîòâåòñòâåííî, à ÷èñëà êîíòðàâàðèàíòíûõ èíäåêñîâ -                                        p(1) , p(2 ) è

Страницы