Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 253 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

253Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï SU(2) è SU(3)
()
3p . Òîãäà èç ôîðìóëû (9.2.14) è êîíêðåòíîãî âèäà ìàòðèö
i
λ
(6.6.24)
ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî áàçèñíûé âåêòîð ñ çàäàííûìè ÷èñëàìè èíäåêñîâ,
ðàâíûõ 1,2 è 3, ñîîòâåòñòâóåò ñëåäóþùèì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì îïå-
ðàòîðîâ
i
H
:
() ()
[]
() ()
[]
q
p
q
p
pqpqH
αα
ββ
αα
ββ
...
...
...
...1
1
1
1
1
22
2
1
11
2
1
ee
−−−=
, (9.2.15)
() ()
[]
() ()
[]
() ()
[]
.}33
3
1
22
32
1
11
32
1
{
...
...
...
...2
1
1
1
1
q
p
q
p
pq
pqpqH
αα
ββ
αα
ββ
e
e
−−
−−+−=
(9.2.16)
Àíàëîãè÷íûå ñîîòíîøåíèÿ èìåþò ìåñòî äëÿ êàíîíè÷åñêîãî áàçè-
ñà íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé. Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðîâ
i
H
áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàê êîìïîíåíòû äâóìåðíûõ âåêòîðîâ, íàçûâàåìûõ
âåñàìè. Èçîáðàæàÿ ýòè âåêòîðû íà ãðàôèêàõ, ìû ïîëó÷èì òàê íàçûâàå-
ìûå âåñîâûå äèàãðàììû.
Ïðîèçâåäåíèå äâóõ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé, âîîáùå ãîâîðÿ,
ïðèâîäèìî è ðàçëàãàåòñÿ íà íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ. Íàïðèìåð,
ëþáîé ïðîèçâîëüíûé ñìåøàííûé ñïèíîð âèäà
β
α
ψ
ïðåîáðàçóþùèéñÿ
ïî ïðåäñòàâëåíèþ 33× , ðàçëàãàåòñÿ íà ñóììó èíâàðèàíòíîãî ñïèíîðà,
ïðîïîðöèîíàëüíîãî
β
α
δ
è íåïðèâîäèìîãî ñïèíîðà ñ íóëåâûì ñëåäîì
(8.6.10):
−+=
γ
γ
β
α
β
α
γ
γ
β
α
β
α
ψδψψδ
ψ
3
1
3
1
.
Òàêèì îáðàçîì,
8133 ⊕=⊗ ,
èëè
() () ( ) ()
1,10,01,00,1 DDDD
⊕=⊗
.
Åñëè äëÿ ïîëó÷åíèÿ íåïðèâîäèìûõ ñïèíîðîâ èç ïðîèçâîëüíîãî
ñìåøàííîãî ñïèíîðà âòîðîãî ðàíãà ñëåäóåò âû÷åñòü ñëåä, òî äëÿ ïîëó÷å-
Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï SU(2) è SU(3)                                                  253

p(3) . Òîãäà èç ôîðìóëû (9.2.14) è êîíêðåòíîãî âèäà ìàòðèö λi (6.6.24)
ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî áàçèñíûé âåêòîð ñ çàäàííûìè ÷èñëàìè èíäåêñîâ,
ðàâíûõ 1,2 è 3, ñîîòâåòñòâóåò ñëåäóþùèì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì îïå-
ðàòîðîâ     Hi :

                      1                                 α ...α
      H1e β11...βqp =  [q(1) − p(1)] − [q(2 ) − p (2 )]e β11...βqp ,
         α ...α                        1
                                                                             (9.2.15)
                      2               2                

            α ...α
      H 2e β11 ...βqp = {
                             1
                                 [q(1) − p(1)]+       1
                                                            [q(2) − p(2)]−
                       2 3                        2 3
                                                                             (9.2.16)
                     −
                       1
                          [q(3) − p(3)]}eαβ11......αβqp .
                        3
      Àíàëîãè÷íûå ñîîòíîøåíèÿ èìåþò ìåñòî äëÿ êàíîíè÷åñêîãî áàçè-
ñà íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé. Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðîâ                     Hi
áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàê êîìïîíåíòû äâóìåðíûõ âåêòîðîâ, íàçûâàåìûõ
âåñàìè. Èçîáðàæàÿ ýòè âåêòîðû íà ãðàôèêàõ, ìû ïîëó÷èì òàê íàçûâàå-
ìûå âåñîâûå äèàãðàììû.
     Ïðîèçâåäåíèå äâóõ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé, âîîáùå ãîâîðÿ,
ïðèâîäèìî è ðàçëàãàåòñÿ íà íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ. Íàïðèìåð,
ëþáîé ïðîèçâîëüíûé ñìåøàííûé ñïèíîð âèäà                        ψ αβ ïðåîáðàçóþùèéñÿ
ïî ïðåäñòàâëåíèþ            3× 3 , ðàçëàãàåòñÿ íà ñóììó èíâàðèàíòíîãî ñïèíîðà,
ïðîïîðöèîíàëüíîãî             δ αβ è íåïðèâîäèìîãî ñïèíîðà ñ íóëåâûì ñëåäîì
(8.6.10):
            1                 1                 
      ψ αβ = δ αβψ γγ + ψ αβ − δ αβψ γγ         .
            3                 3                 
      Òàêèì îáðàçîì,
      3 ⊗ 3 = 1⊕ 8 ,
èëè
      D(1,0) ⊗ D(0,1) = D(0,0) ⊕ D(1,1) .
    Åñëè äëÿ ïîëó÷åíèÿ íåïðèâîäèìûõ ñïèíîðîâ èç ïðîèçâîëüíîãî
ñìåøàííîãî ñïèíîðà âòîðîãî ðàíãà ñëåäóåò âû÷åñòü ñëåä, òî äëÿ ïîëó÷å-

Страницы