Линейные операторы в квантовой механике. Кирсанов А.А. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

18
а также разложение комплексно-сопряженной функции
(
)
(
)
∑
Ψ=Ψ
m
mm
trctr ,,
***
r
r
. (13а)
Внося оператор
L
€ под знак суммы, перемножая суммы и ин-
тегрируя почленно, получим:
∫∫∫
∑
∑
=ΨΨ=
V
m n
nnmm
dVcLcL
€
**
∫∫∫
∑
∫∫∫
∑
∑
ΨΨ=ΨΨ=
V
nm
nm
nm
V
m n
nnmm
dVLccdVLcc
€€
*
,
***
. (14)
Так как собственными функциями оператора
L
€ являются
n
Ψ ,
то
nnn
LL Ψ=Ψ
€
, где
n
L - собственные значения оператора
L
€.
Внесём
n
L за знак интеграла и воспользуемся ортонормиро-
ванностью функций
n
Ψ :
mn
V
nm
dV δ=ΨΨ
∫∫∫
*
. При этом получим:
∑
δ=
nm
mnnnm
LccL
,
*
. (15)
В этой двойной сумме отличны от нуля только члены с
n
m
=
, следовательно, мы получаем:
∑
∑
==
m
mm
m
mmm
LcLccL
2
*
. (16)
Из условия нормировки функции
Ψ
вытекает:
∫
∑
∑
∫
=ΨΨ=ΨΨ
m n
nnmm
dVccdV
***
1
2
,
**
,
*
==δ=ΨΨ=
∑
∑
∫
∑
m
mmn
nm
nmnm
nm
nm
cccdVcc
. (17)
сравнивая (16) с (1) мы видим, что собственные значения оператора
L
€
являются допустимыми значениями случайной величины
L
, а
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                                                                             18
    а также разложение комплексно-сопряженной функции
              r                    r
         Ψ * (r , t ) = ∑ cm* Ψm* (r , t ) .                                         (13а)
                             m

         Внося оператор L€ под знак суммы, перемножая суммы и ин-
    тегрируя почленно, получим:


          L = ∫∫∫ ∑ cm* Ψm* L€∑ cn Ψn dV =
                   V     m               n


         = ∫∫∫ ∑ cm* Ψm* ∑ cn L€Ψn dV =∑ c m* cn ∫∫∫ Ψm* L€Ψn dV .                   (14)
             V m         n             m ,n                       V

         Так как собственными функциями оператора L€ являются Ψn ,

    то L€Ψn = Ln Ψn , где Ln - собственные значения оператора L€ .

         Внесём Ln за знак интеграла и воспользуемся ортонормиро-

                                          ∫∫∫ Ψ          Ψn dV = δ mn . При этом получим:
                                                     *
    ванностью функций Ψn :                           m
                                             V


          L = ∑ cm* cn Ln δmn .                                                      (15)
                  m ,n

         В этой двойной сумме отличны от нуля только члены с
    m = n , следовательно, мы получаем:
          L = ∑ cm* c m Lm = ∑ cm Lm .
                                                     2
                                                                                     (16)
                   m                     m

         Из условия нормировки функции Ψ вытекает:

         ∫ Ψ ΨdV = ∫ ∑ c                 Ψm* ∑ c n Ψn dV =
              *                      *
                                     m
                                 m               n


         = ∑ c m* c n ∫ Ψm* Ψn dV = ∑ c m* c n δ mn = ∑ c m
                                                                          2
                                                                              = 1.   (17)
            m,n                                  m, n                 m

    сравнивая (16) с (1) мы видим, что собственные значения оператора
    L€ являются допустимыми значениями случайной величины L , а



PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы