Линейные операторы в квантовой механике. Кирсанов А.А. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

22
(
)
(
)
(
)
∫
Ψ−⋅−Ψ=
V
dVLLLLLD
€€
*
. (3)
Воспользуемся самосопряженностью оператора LL −
€
, по-
лагая в формуле (3) §1
Ψ=
1
u
;
(
)
Ψ−= LLu
€
2
:
()
(
)
(
)
(
)
∫ ∫
Ψ−=Ψ−Ψ−=
V V
dVLLdVLLLLLD
2
*
*
€€€
. (4)
Так как
(
)
2
€
Ψ− LL - вещественная неотрицательная вели-
чина, то
(
)
0≥LD
, как и должно быть в соответствии со смыслом
этой величины.
Если физическая величина
L
имеет в данном состоянии ча-
стицы определённое значение, то среднее значение
L
совпада-
ет с этим значением
L
и дисперсия равна нулю. Это имеет место
только тогда, когда подынтегральная функция в (4) тождествен-
но равна нулю:
(
)
0
€
2
=Ψ− LL , или
Ψ
=
Ψ
L
L
€
. (5)
Обратно, если выполняется условие (5), то дисперсия тож-
дественно рана нулю. Условие (5) означает, что
Ψ
есть собствен-
ная функция оператора
L
€ соответствующая собственному зна-
чению
L
. Итак, чтобы величина
L
имела определённое значе-
ние в данном состоянии частицы, необходимо и достаточно, что-
бы волновая функция этого состояния частицы была собственной
функцией оператора
L
€.
Так как волновые функции должны удовлетворять некото-
рым дополнительным условиям (непрерывность, однозначность,
обращение в нуль на бесконечности), решения уравнения (5) воз-
можно не для всех
L
, а лишь для значений
L
, принадлежащих
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                                                             22

                            (      )(
         D (L ) = ∫ Ψ * L€ − L ⋅ L€ − L ΨdV .  )                       (3)
                   V


        Воспользуемся самосопряженностью оператора L€ − L , по-

                                              (
    лагая в формуле (3) §1 u1 = Ψ ; u 2 = L€ − L Ψ :  )
               (        ) (
    D( L ) = ∫ L€ − L Ψ L€ −      L ) Ψ dV = ∫ (L€ − L )Ψ
                                       *   *
                                                            2
                                                                dV .   (4)
           V                                       V


        Так как        (L€− L )Ψ   2
                                       - вещественная неотрицательная вели-

    чина, то D( L ) ≥ 0 , как и должно быть в соответствии со смыслом
    этой величины.
         Если физическая величина L имеет в данном состоянии ча-
    стицы определённое значение, то среднее значение L совпада-
    ет с этим значением L и дисперсия равна нулю. Это имеет место
    только тогда, когда подынтегральная функция в (4) тождествен-
    но равна нулю:

         (L€− L )Ψ      2
                            = 0 , или L€Ψ = LΨ .                       (5)
         Обратно, если выполняется условие (5), то дисперсия тож-
    дественно рана нулю. Условие (5) означает, что Ψ есть собствен-
    ная функция оператора L€ соответствующая собственному зна-
    чению L . Итак, чтобы величина L имела определённое значе-
    ние в данном состоянии частицы, необходимо и достаточно, что-
    бы волновая функция этого состояния частицы была собственной
    функцией оператора L€ .
         Так как волновые функции должны удовлетворять некото-
    рым дополнительным условиям (непрерывность, однозначность,
    обращение в нуль на бесконечности), решения уравнения (5) воз-
    можно не для всех L , а лишь для значений L , принадлежащих




PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы