Линейные операторы в квантовой механике. Кирсанов А.А. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

23
спектру собственных значений. Решая уравнение (5) необходимо не
только определить собственные функции, но и найти значения
L
, при
которых возможны решения, удовлетворяющие дополнительным ус-
ловиям, т.е. найти спектр собственных значений.
Таким образом, в то время как в теории Бора, допустимые ста-
ционарные значения физических величин находились на основе ис-
кусственно введённых условий квантования, противоречащих зако-
нам электродинамики, в квантовой механике возможные определён-
ные значения физических величин находятся по единому алгоритму
как собственные значения соответствующих операторов.
Пример. Найти собственные значения квадрата импульса
частицы, движущейся вдоль оси
Ox
по отрезку
[
]
l,0
в поле с
потенциальной энергией
0
≡
U
. За пределы отрезка частица
не выходит.
Решение. Известно (см. §2), что оператор
x
-вой составляю-
щей импульса имеет вид:
x
i
p
x
∂
∂
=
h
€
. (6)
Соответственно, оператор квадрата импульса имеет вид:
2
2
22
€
x
p
x
∂
∂
−= h
. (7)
Уравнение (5) в данном случае имеет вид:
Ψ=
Ψ
−
2
2
2
2
x
p
dx
d
&&
h
. (8)
(В данном случае переменная одна, поэтому
2
2
2
2
dx
d
x
Ψ
=
∂
Ψ∂
).
Граничные условия в соответствии с условием задачи:
(
)
(
)
lΨ=Ψ 0
=0. (9)
Уравнение (8) является уравнением второго порядка с по-
стоянными коэффициентами. Составим характеристическое урав-
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                                                    23
    спектру собственных значений. Решая уравнение (5) необходимо не
    только определить собственные функции, но и найти значения L , при
    которых возможны решения, удовлетворяющие дополнительным ус-
    ловиям, т.е. найти спектр собственных значений.
         Таким образом, в то время как в теории Бора, допустимые ста-
    ционарные значения физических величин находились на основе ис-
    кусственно введённых условий квантования, противоречащих зако-
    нам электродинамики, в квантовой механике возможные определён-
    ные значения физических величин находятся по единому алгоритму
    как собственные значения соответствующих операторов.
         Пример. Найти собственные значения квадрата импульса
    частицы, движущейся вдоль оси Ox по отрезку [0, l ] в поле с
    потенциальной энергией U ≡ 0 . За пределы отрезка частица
    не выходит.
        Решение. Известно (см. §2), что оператор x -вой составляю-
    щей импульса имеет вид:
                 h ∂
         p€x =        .                                       (6)
                 i ∂x
        Соответственно, оператор квадрата импульса имеет вид:
                       ∂2
         p€x2 = −h 2        .                                 (7)
                       ∂x 2
        Уравнение (5) в данном случае имеет вид:
            d 2Ψ
         −h 2
               2
                 = &p& x2 Ψ .                                 (8)
            dx
                                              ∂2Ψ d 2Ψ
    (В данном случае переменная одна, поэтому      =      ).
                                              ∂x 2   dx 2
        Граничные условия в соответствии с условием задачи:
         Ψ (0 ) = Ψ (l ) =0.                             (9)
         Уравнение (8) является уравнением второго порядка с по-
    стоянными коэффициентами. Составим характеристическое урав-



PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы