Линейные операторы в квантовой механике. Кирсанов А.А. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

26
Для того, чтобы динамические переменные
L
и
M
были
соизмеримы, необходимо и достаточно, чтобы их операторы
коммутировали, т.е.
L
M
M
L
€€€€
=
. (1)
Доказательство необходимости. Дано, что динамические пе-
ременные
L
и
M
одновременно имеют определённые значения.
Требуется доказать, что их операторы коммутируют. По условию
существуют такие состояния частицы, волновые функции которых
n
Ψ одновременно являются собственными функциями операторов
L
и
M
:
nnn
LL Ψ=Ψ
€
, (2а)
nnn
MM Ψ=Ψ
€
. (2б)
Подействуем на левую и правую части уравнения (2а) опе-
ратором
M
€ , а на левую и правую части (2б) - оператором
L
€.
Пользуясь линейностью операторов, получим:
nnnnnn
MLMLLM Ψ=Ψ=Ψ
€€€
, (3а)
nnnnnn
LMLMML Ψ=Ψ=Ψ
€€€
. (3б)
Правые части равенств (3а) и (3б) равны, приравняем и их
левые части:
nn
MLLM Ψ=Ψ
€€€€
. (4)
Равенство (4) ещё не означает, что операторы
L
€
и
M
€
ком-
мутируют, так как для доказательства коммутативности надо
показать, что
Ψ
=
Ψ
M
L
L
M
€€€€
,
где
Ψ
- любая функция того класса функций, на которые дей-
ствуют операторы ,
n
Ψ - собственные функции обоих опера-
торов. Однако, мы можем разложить любую функцию
Ψ
по
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                                                26
        Для того, чтобы динамические переменные L и M были
    соизмеримы, необходимо и достаточно, чтобы их операторы
    коммутировали, т.е.
         L€M€ = M€L€ .                                    (1)
        Доказательство необходимости. Дано, что динамические пе-
    ременные L и M одновременно имеют определённые значения.
    Требуется доказать, что их операторы коммутируют. По условию
    существуют такие состояния частицы, волновые функции которых
    Ψn одновременно являются собственными функциями операторов
    LиM:
      L€Ψn = Ln Ψn ,                                     (2а)

         M€Ψn = M n Ψn .                                 (2б)
        Подействуем на левую и правую части уравнения (2а) опе-
    ратором M€ , а на левую и правую части (2б) - оператором L€ .
    Пользуясь линейностью операторов, получим:
         M€L€Ψn = Ln M€Ψn = Ln M n Ψn ,                  (3а)

         L€M€Ψn = M n L€Ψn = M n Ln Ψn .                 (3б)
        Правые части равенств (3а) и (3б) равны, приравняем и их
    левые части:
         M€L€Ψn = L€M€Ψn .                               (4)
        Равенство (4) ещё не означает, что операторы L€ и M€ ком-
    мутируют, так как для доказательства коммутативности надо
    показать, что
        M€L€Ψ = L€M€Ψ ,
    где Ψ - любая функция того класса функций, на которые дей-
    ствуют операторы , Ψn - собственные функции обоих опера-
    торов. Однако, мы можем разложить любую функцию Ψ по




PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы