Линейные операторы в квантовой механике. Кирсанов А.А. - 28 стр.

                                                                            28
    что каждому собственному значению оператора L€ может соответ-
    ствовать только одна линейно-независимая собственная функция, а
    полученные две функции должны быть линейно-зависимыми, т.е. от-
    личаются постоянным множителем, который мы обозначим M n :

         M€Ψn = M n Ψn .                                              (8)

        Равенство (8) означает, что Ψn - собственная функция опе-
    ратора M€ , т.е. собственные функции оператора L€ являются и
    собственными функциями M€ . Теорема доказана.
        Пример. Может ли потенциальная энергия U ( x, y, z ) и про-
    екция импульса p x одновременно иметь определённые значения?
        Решение. Оператор потенциальной является оператором ум-
    ножения U€ = U ( x, y, z ) . Оператор проекции импульса p x имеет

                h ∂
    вид p€x =        . Подействуем произведением этих операторов на
                i ∂x
    произвольную функцию Ψ ( x, y, z ) заданного класса функций:

                  h ∂
         p€xU€Ψ =      (U (x, y, z )Ψ (x, y, z )) = h  ∂U + U ∂ Ψ .
                  i ∂x                              i  ∂x      ∂x 
        С другой стороны
                  h              ∂Ψ
         U€p€x Ψ = U ( x, y, z )    .
                  i              ∂x
        Отсюда видно, что вообще говоря
         p€xU€ ≠ U€p€x ,
    т.е. операторы не коммутируют и значит соответствующие вели-
    чины не могут иметь одновременно определённых значений.
    Только в частном случае, когда U не зависит от x и следова-




PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com