Линейные операторы в квантовой механике. Кирсанов А.А. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

29
тельно
0=
∂
∂
x
U
операторы коммутируют и величины
x
p и
(
)
zyxU ,,
могут иметь определённые значения.
§6. Операторы основных динамических переменных
и соотношения коммутативности между ними
Составим таблицу классических выражений и операторов
основных динамических переменных частицы в декартовой сис-
теме координат.
Рассмотрим какие пары из перечисленных операторов ком-
мутируют, а какие не коммутируют. Очевидно, операторы
z
y
x
,
,
,
(
)
zyxU ,,
попарно коммутируют, так как это операторы умно-
жения и их произведения представляют собой простые произве-
дения функций. Очевидно, также, попарно коммутируют проек-
ции импульсов ввиду независимости смешанных производных от
порядка дифференцирования:
xyyx
pp
xyyx
pp
€€€€
2
2
2
2
=
∂∂
∂
−=
∂∂
∂
−= hh
. (1)
Каждая координата коммутирует с не одноименными проекция-
ми импульса, так как координату можно выносить за знак производ-
ной по другой независимой переменной:
( )
Ψ=
∂
Ψ
∂
=Ψ
∂
∂
=Ψ
yy
px
yi
xx
yi
xp
€€
hh
. (2)
Рассмотрим коммутатор координаты и одноимённой про-
екции импульса
[ ]
( ) ( )
=
Ψ
∂
∂
−
∂
Ψ∂
=Ψ−=Ψ x
xx
x
i
xppxpx
xxx
h
€€€€€€
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                                                         29

             ∂U
    тельно      = 0 операторы коммутируют и величины p x и U ( x, y, z )
             ∂x
    могут иметь определённые значения.


       §6. Операторы основных динамических переменных
           и соотношения коммутативности между ними

        Составим таблицу классических выражений и операторов
    основных динамических переменных частицы в декартовой сис-
    теме координат.
        Рассмотрим какие пары из перечисленных операторов ком-
    мутируют, а какие не коммутируют. Очевидно, операторы x, y, z ,
    U ( x, y, z ) попарно коммутируют, так как это операторы умно-
    жения и их произведения представляют собой простые произве-
    дения функций. Очевидно, также, попарно коммутируют проек-
    ции импульсов ввиду независимости смешанных производных от
    порядка дифференцирования:
                           ∂2          ∂2
         p€x p€y = −h 2        = −h 2      = p€y p€x .             (1)
                          ∂x∂y        ∂y∂x
         Каждая координата коммутирует с не одноименными проекция-
    ми импульса, так как координату можно выносить за знак производ-
    ной по другой независимой переменной:
                    h ∂
         p€y xΨ =        (xΨ ) = x h ∂Ψ = xp€y Ψ .                 (2)
                    i ∂y           i ∂y
        Рассмотрим коммутатор координаты и одноимённой про-
    екции импульса

         [x€p€x ]Ψ = (x€p€x − p€x x€)Ψ = h  x ∂Ψ − ∂ (xΨ ) =
                                        i  ∂x      ∂x      




PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы