Линейные операторы в квантовой механике. Кирсанов А.А. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

27
собственным функциям
n
Ψ :
∑
Ψ=Ψ
n
nn
c
.
Пользуясь равенством (4), получим:
=Ψ=Ψ=Ψ
∑
∑
n
nn
n
nn
LMccLMLM
€€€€€€
Ψ=Ψ=Ψ=
∑
∑
MLcMLMLc
n
nn
n
nn
€€€€€€
. (5)
Необходимость доказана.
Доказательство достаточности, мы рассмотрим не для об-
щего случая, а для случая, когда собственные значения операто-
ров
L
€ и
M
€ простые.
Дано, что операторы
L
€ и
M
€ коммутируют. Требуется до-
казать, что они имеют общую систему собственных функций.
Пусть
n
Ψ - собственные функции оператора
L
€, то есть
nnn
LL Ψ=Ψ
€
. (6)
Докажем, что
n
Ψ являются также собственными функция-
ми оператора
M
€
. Для этого подействуем оператором
M
€
на ле-
вую и правую части уравнения (6). Пользуясь коммутативнос-
тью операторов и линейностью оператора
M
€
, получим:
(
)
(
)
nnn
MLML Ψ=Ψ
€€€
. (7)
Отсюда мы видим, что
n
MΨ
€
является собственной функци-
ей оператора
L
€ при собственном значении
n
L . Таким образом
собственному значению
n
L соответствуют две собственные фун-
кции оператора
L
€:
n
Ψ и
n
MΨ
€
. Но по наложенному ограниче-
нию мы считаем собственные значения простыми. Это значит,
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                                                  27

    собственным функциям Ψn :

         Ψ = ∑ cn Ψn .
                  n

        Пользуясь равенством (4), получим:
         M€L€Ψ = M€L€∑ cn Ψn = ∑ cn M€L€Ψn =
                          n           n


         = ∑ cn L€M€Ψn = L€M€ ∑ cn Ψn = L€M€Ψ .             (5)
              n                   n

        Необходимость доказана.
        Доказательство достаточности, мы рассмотрим не для об-
    щего случая, а для случая, когда собственные значения операто-
    ров L€ и M€ простые.
         Дано, что операторы L€ и M€ коммутируют. Требуется до-
    казать, что они имеют общую систему собственных функций.
    Пусть Ψn - собственные функции оператора L€ , то есть

         L€Ψn = Ln Ψn .                                     (6)

        Докажем, что Ψn являются также собственными функция-
    ми оператора M€ . Для этого подействуем оператором M€ на ле-
    вую и правую части уравнения (6). Пользуясь коммутативнос-
    тью операторов и линейностью оператора M€ , получим:

          (           )   (
         L€ M€Ψn = Ln M€Ψn .  )                             (7)
                             €
        Отсюда мы видим, что MΨ  является собственной функци-
                               n

    ей оператора L€ при собственном значении Ln . Таким образом
    собственному значению Ln соответствуют две собственные фун-
                             € . Но по наложенному ограниче-
    кции оператора L€ : Ψn и MΨn
    нию мы считаем собственные значения простыми. Это значит,




PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы