Линейные операторы в квантовой механике. Кирсанов А.А. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

31
из четвёртой -
y
px
€
:
[
]
(
)
(
)
=−+−=
zzyzzxyx
pzzppxpzzppyLL
€€€€€€
€€
[
]
[
]
zyzx
pzpxpzpy
€€€€
+−=
.
Учитывая (3) и выражение для оператора
z
L
€
(см. Таблицу
1), получаем:
[
]
(
)
zxyyx
LipypxiLL
€
€€
€€
hh =−= . (4)
Аналогично
[
]
xzy
LiLL
€€€
h= ;
[
]
yxz
LiLL
€€€
h= .
Покажем, что оператор каждой проекции момента количе-
ства движения коммутирует с оператором квадрата момента ко-
личества движения, например:
[
]
(
)
(
)
=++−++=
xzyxzyxxx
LLLLLLLLLL
€€€€€€€€€€
2222222
=++−+−=
xzzxxyyxxx
LLLLLLLLLL
€€€€€€€€€€
222233
(
)
(
)
(
)
(
)
xzzzzxxyyyyx
LLLLLLLLLLLL
€€€€€€€€€€€€
−+−= .
На основании соотношений коммутативности (4), имеем:
zxyyx
LiLLLL
€€€€€
h+= ;
zyxxy
LiLLLL
€€€€€
h−= ;
yxzzx
LiLLLL
€€€€€
h−= ;
yzxxz
LiLLLL
€€€€€
h+= .
Подставляя эти выражения в (5), получаем:
[
]
(
)
(
)
+−−+=
zyxyyzxyx
LiLLLLLiLLLL
€€€€€€€€€€
2
hh
(
)
(
)
=+−−+
yzxzzyxz
liLLLLLiLL
€
€€€€€€€
hh
(
)
+++−=
yzzyyxyyxy
LLLLiLLLLLL
€€€€€€€€€€
h
(
)
0
€€€€€€€€€€
=+−−+
yzzyzxzzxz
LLLLiLLLLLL h .
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                                                                                                                                               31

    из четвёртой - x€
                    py :

         [L€ L€ ] = yp€ ( p€ z − zp€ ) + xp€ ( p€ z − zp€ ) =
           x       y                     x           z                       z                           y           z                       z

                           = − yp€x [zp€z ] + xp€y [zp€z ] .
         Учитывая (3) и выражение для оператора L€z (см. Таблицу
    1), получаем:
         [L€ L€ ] = ih(xp€ − yp€ ) = ihL€ .
           x       y                             y                   x                               z                                                   (4)
         Аналогично
         [L€ L€ ] = ihL€ ; [L€ L€ ] = ihL€ .
           y       z                     x               z       x                           y

         Покажем, что оператор каждой проекции момента количе-
    ства движения коммутирует с оператором квадрата момента ко-
    личества движения, например:
         [L€ L€ ] = L€ (L€ + L€ + L€ )− (L€ + L€ + L€ )L€ =
           x
                   2
                                 x
                                             2
                                             x
                                                             2
                                                             y
                                                                                 2
                                                                                 z
                                                                                                         2
                                                                                                         x
                                                                                                                             2
                                                                                                                             y
                                                                                                                                         2
                                                                                                                                         z           x


                           = L€3x − L€3x + L€x L€2y − L€2y L€x + L€x L€2z + L€2z L€x =

           (                )                            (
         = L€x L€y L€y − L€y L€y L€x + L€x L€z L€z − L€z L€z L€x .       ) (                                 )                           (               )
         На основании соотношений коммутативности (4), имеем:
         L€x L€y = L€y L€x + ihL€z ; L€y L€x = L€x L€y − ihL€z ;

         L€x L€z = L€z L€x − ihL€y ; L€z L€x = L€x L€z + ihL€y .
         Подставляя эти выражения в (5), получаем:
         [L€ L€ ] = (L€ L€ + ihL€ )L€ − L€ (L€ L€ − ihL€ )+
           x
                   2
                                     y       x                       z           y                   y           x           y                   z


         + (L€ L€ − ihL€ )L€ − L€ (L€ L€ + ihl€ ) =
                   z   x                     y           z               z           x           z                       y


         = L€ L€ L€ − L€ L€ L€ + ih (L€ L€ + L€ L€ )+
               y       x     y               y           x       y                           y           z               z           y


         + L€ L€ L€ − L€ L€ L€ − ih(L€ L€ + L€ L€ ) = 0 .
               z       x     z               z       x       z                           y           z               z           y




PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы