Линейные операторы в квантовой механике. Кирсанов А.А. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

30
Ψ=Ψ
⋅
⋅
−=Ψ−=
∂
Ψ∂
−Ψ−
∂
Ψ∂
= h
hhh
i
ii
i
ix
x
x
x
i
2
2
.
Отсюда
[
]
[
]
[
]
hipzpypx
zyx
===
€€€€€€
. (3)
Эта некоммутативность операторов находит своё выраже-
ние в соотношении неопределённостей
h≥∆⋅∆
x
px ;
h≥∆⋅∆
y
py
;
h≥∆⋅∆
z
pz
.
Оператор любой проекции импульса коммутирует с опера-
тором кинетической энергии, но не коммутирует с оператором
потенциальной энергии, а значит не коммутирует с оператором
полной энергии.
Координаты наоборот коммутируют с потенциальной энер-
гией, но не коммутируют с оператором кинетической энергии, а
значит и с оператором полной энергии.
Покажем, что проекции момента импульса друг с другом не
коммутируют, например:
[
]
(
)
(
)
(
)
(
)
yzzxzxyzyx
pzpypxpzpxpzpzpyLL
€€€€€€€€
€€
−−−−−= .
При перемножении операторов соединим попарно такие
произведения, которые отличаются только порядком сомножи-
телей. Подставлять явные выражения операторов проекций им-
пульса нет необходимости.
[
]
(
)
(
)
−−−−=
zzzzxxzyx
pxpxpypypzpzpyLL
€€€€€€€
€€
(
)
(
)
yzzyyxxy
pzpxpxpzpzpzpzpz
€€€€€€€€
−+−−
.
Произведения операторов во второй и третьей скобках ком-
мутируют, поэтому эти коммутаторы равны нулю. Произведения
операторов в первой и четвёртой скобках содержат некоммутиру-
ющие операторы
z
и
z
p
€
, поэтому эти коммутаторы не обращают-
ся в нуль. Учитывая коммутативность координат с операторами нео-
дноимённых проекций импульса выносим из первой скобки
x
py
€
, а
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                                                                     30

          h  ∂Ψ        ∂Ψ     h     h ⋅i2
         = x    −Ψ − x     = − Ψ = − 2 Ψ = i hΨ .
          i  ∂x        ∂x     i     i⋅i
        Отсюда
         [x€p€x ] = [y€p€y ] = [z€p€z ] = ih .                                 (3)
        Эта некоммутативность операторов находит своё выраже-
    ние в соотношении неопределённостей
         ∆x ⋅ ∆p x ≥ h ; ∆y ⋅ ∆p y ≥ h ; ∆z ⋅ ∆p z ≥ h .
         Оператор любой проекции импульса коммутирует с опера-
    тором кинетической энергии, но не коммутирует с оператором
    потенциальной энергии, а значит не коммутирует с оператором
    полной энергии.
         Координаты наоборот коммутируют с потенциальной энер-
    гией, но не коммутируют с оператором кинетической энергии, а
    значит и с оператором полной энергии.
         Покажем, что проекции момента импульса друг с другом не
    коммутируют, например:
         [L€ L€ ] = (yp€ − zp€ )(zp€ − xp€ ) − (zp€ − xp€ )(yp€ − zp€ ) .
            x   y         z        y       x       z       x       z   z   y

         При перемножении операторов соединим попарно такие
    произведения, которые отличаются только порядком сомножи-
    телей. Подставлять явные выражения операторов проекций им-
    пульса нет необходимости.
         [L€ L€ ] = ( yp€ zp€ − zp€ yp€ ) − ( yp€ xp€ − xp€ ) −
            x   y         z    x       x       z       z   z       z

         − (zp€y zp€x − zp€x zp€y ) + (zp€y xp€z − xp€z zp€y ) .
        Произведения операторов во второй и третьей скобках ком-
    мутируют, поэтому эти коммутаторы равны нулю. Произведения
    операторов в первой и четвёртой скобках содержат некоммутиру-
    ющие операторы z и p€z , поэтому эти коммутаторы не обращают-
    ся в нуль. Учитывая коммутативность координат с операторами нео-
    дноимённых проекций импульса выносим из первой скобки y€
                                                           px , а




PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы