Линейные операторы в квантовой механике. Кирсанов А.А. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

37
Складывая правые и левые части равенств и приводя подоб-
ные, получим:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
2211
22112211
€€€€
€
€
€
€
€
€
€
€
Ψ++Ψ+=
=Ψ++Ψ+=Ψ+Ψ+=Ψ+
BAcBAc
cBAcBAccBABA
,
что доказывает линейность оператора
(
)
BA
€
€
+
. Линейность опе-
ратора
B
A
€
€
доказывается подобным образом.
2. Возвести в квадрат оператор
x
dx
d
A +=
€
, это значит найти
результат последовательного действия двух таких операторов на
функцию
Ψ
.
=
Ψ+
Ψ
+=Ψ
+⋅
+=Ψ
+ x
dx
d
x
dx
d
x
dx
d
x
dx
d
x
dx
d
2
( )
Ψ++
Ψ
+
Ψ
=Ψ+
Ψ
+
Ψ
+Ψ+
Ψ
=
2
2
2
2
2
2
12 x
dx
d
x
dx
d
x
dx
d
x
dx
d
x
dx
d
.
Таким образом
( )
2
2
2
2
12
€
x
dx
d
x
dx
d
A +++=
.
Задачи 3, 4 и 5 решаются аналогично.
6.
1=−
dx
d
xx
dx
d
, где 1 - единичный оператор. Для решения
этой задачи следует воспользоваться результатами решения за-
дачи 3.
7.
( )
(
)
x
zyxf
zyxf
x ∂
∂
=
∂
∂ ,,
,,,
.
8.
[ ]
x
x
∂
∂
=∆ 2,
.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                                                             37
         Складывая правые и левые части равенств и приводя подоб-
    ные, получим:
    (A€ + B€)Ψ = (A€ + B€)(c Ψ + c Ψ ) = (A€ + B€)(c Ψ ) + (A€ + B€)(c Ψ ) =
                            1    1       2   2           1   1   2   2

               = c (A€ + B€)Ψ + c (A€ + B€)Ψ
                                                                             ,
                  1              1       2           2

    что доказывает линейность оператора (A€ + B€) . Линейность опе-
    ратора A€B€ доказывается подобным образом.
                                             d
         2. Возвести в квадрат оператор A€ =    + x , это значит найти
                                             dx
    результат последовательного действия двух таких операторов на
    функцию Ψ .
                      2
         d         d     d          d     dΨ      
          + x  Ψ =  + x  ⋅  + x Ψ =  + x     + xΨ  =
          dx        dx     dx        dx   dx      

         =
           d 2Ψ
           dx 2
                + Ψ + x
                        dΨ
                        dx
                           + x
                               dΨ
                               dx
                                  + x 2
                                        Ψ =
                                            d 2Ψ
                                            dx 2
                                                 + 2x
                                                      dΨ
                                                      dx
                                                                 (
                                                         + 1+ x2 Ψ .     )
         Таким образом
              d2
              dx
                       d
         A€2 = 2 + 2 x + 1 + x 2 .
                      dx
                                     (           )
         Задачи 3, 4 и 5 решаются аналогично.

            d      d
         6.    x−x    = 1 , где 1 - единичный оператор. Для решения
            dx     dx
    этой задачи следует воспользоваться результатами решения за-
    дачи 3.
            ∂                ∂f (x, y, z )
         7.  , f (x, y , z ) =             .
             ∂x                  ∂x
                          ∂
         8. [∆, x ] = 2      .
                          ∂x




PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы