Линейные операторы в квантовой механике. Кирсанов А.А. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

38
9. Пусть
1
€€€€
=
−
L
M
M
L
. Для определения коммутатора
L
M
M
L
€€€€
22
−
(*)
надо так дополнить это выражение, чтобы при приведении по-
добных членов получился заданный коммутатор
[
]
1
€
,
€
=ML
. При-
бавим и вычтем из (*) произведение операторов
M
L
M
€€€
(
)
(
)
=−+−=−+− LMMLMMLMMLMLMMLMLMML
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
2222
(
)
(
)
MLMMLMMLMML
€
2
€€€€€€€€€€
=−+−=
.
10. Нам дан оператор
a
T
€
осуществляющий перенос вдоль
оси
x
на величину
a
, т.е.
(
)
(
)
axxT
a
+Ψ=Ψ
€
.
Полагая
a
малым разложим
(
)
ax
+
в ряд по степеням
a
.
() ( ) ()
(
)
(
)
(
)
∑
∞
=
Ψ
=⋅⋅⋅+
Ψ
+
Ψ
+Ψ=+Ψ=Ψ
0
2
22
!!2
€
n
n
nn
a
dx
xd
n
a
dx
xda
dx
xd
axaxxT
.
Откуда
∑
∞
=
=⋅⋅⋅+++=
0
2
22
!!2
1
€
n
n
nn
a
dx
d
n
a
dx
da
dx
d
aT
.
Сравнивая полученное выражение с разложением
∑
∞
=
=⋅⋅⋅++++=
0
32
!!3!2
1
n
n
x
n
xxx
xe
, получим
dx
d
a
a
eT =
€
.
11.
( )
( )
pa
i
a
a
eeT
€
,
,
€
r
h
r
r
==
∇
, так как
∇=
i
p
h
€
или
p
i
€
h
=∇
.
12.
ϕ
α
α
=
d
d
eT
€
.
13. Задача, обратная задаче 10, если положить
ka
=
.
14. Да.
15. Оператор комплексного сопряжения
A
€
удовлетворяет
равенству
*
€
=
A
. Помножим это равенство слева ещё раз на
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                                                                             38

        9. Пусть L€M€ − M€L€ = 1 . Для определения коммутатора
         L€M€ 2 − M€ 2 L€                                      (*)
    надо так дополнить это выражение, чтобы при приведении по-
    добных членов получился заданный коммутатор L€, M€ = 1 . При-         [ ]
    бавим и вычтем из (*) произведение операторов M€L€M€
                                               (               ) (
    L€M€ 2 − M€ 2 L€ + M€L€M€ − M€L€M€ = L€M€ 2 − M€L€M€ + M€L€M€ − M€ 2 L€ =        )
      (             )                (     )
    = L€M€ − M€L€ M€ + M€ L€M€ − M€L€ = 2M€ .
          10. Нам дан оператор T€a осуществляющий перенос вдоль
    оси x на величину a , т.е. T€a Ψ (x ) = Ψ (x + a ) .
          Полагая a малым разложим Ψ ( x + a ) в ряд по степеням a .

                                         dΨ ( x ) a 2 d 2 Ψ ( x )            ∞
                                                                                  a n d n Ψ( x )
    T€a Ψ (x ) = Ψ (x + a ) = Ψ (x ) + a         +                + ⋅ ⋅ ⋅ = ∑                   .
                                          dx       2! dx 2                  n = 0 n!    dx n
           Откуда
                                           ∞
                     d a2 d 2                   an d n
          T€a = 1 + a +
                     dx 2! dx 2
                                + ⋅ ⋅ ⋅ = ∑           n .
                                          n = 0 n! dx

          Сравнивая полученное выражение с разложением
                                           ∞
                            x2 x3               xn
                                  + ⋅⋅⋅ = ∑
                                                                      d
           ex =1+ x +         +                    , получим T€ = e a dx .
                            2! 3!         n = 0 n!             a

                                  i r                       h         i
          11. T€r = e (a ,∇ ) = e h (a , p€ ) , так как p€ = ∇ или ∇ = p€ .
                       r
                a                                           i         h
                            d
                        α
          12. T€ = e        dϕ   .
               α

          13. Задача, обратная задаче 10, если положить a = k .
          14. Да.
          15. Оператор комплексного сопряжения A€ удовлетворяет
    равенству       A€Ψ = Ψ * . Помножим это равенство слева ещё раз на




PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы