Линейные операторы в квантовой механике. Кирсанов А.А. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

40
M
L
L
€
2
€€
*
=
+
или
(
)
LLM
€€
2
1
€
*
+=
.
Далее
(
)
MLLM
€€€
2
1
€
**
=+=
, т.е.
M
€ - эрмитов оператор.
Вычитая (2) из (1), получим:
(
)
LL
i
N
€€
2
€
*
−=
,
тогда
(
)
(
)
NLL
i
LL
i
N
€€€
2
€€
2
€
***
=−=−−=
- эрмитов оператор.
Таким образом, сумма произвольного линейного операто-
ра
L
€ и его комплексно сопряженного оператора
*
€
L
есть эрмитов
оператор:
M
L
L
€
2
€€
*
=
+
.
17. Если операторы
A
€
и
B
€ - эрмитовы, то
dxAdxA
*
1
*
22
*
1
€
€
ΨΨ=ΨΨ
∫∫
, а
dxBdxB
*
1
*
22
*
1
€
€
ΨΨ=ΨΨ
∫∫
.(*)
Складывая правые и левые части равенств (*), получим:
(
)
(
)
(
)
∫∫∫
Ψ+Ψ=Ψ+Ψ=Ψ+Ψ dxBAdxBAdxBA
*
1
*
2
*
1
**
22
*
1
€
€
€
€
€
€
,
откуда следует эрмитовость оператора
B
A
€
€
+
.
Для выяснения эрмитовости оператора
A
B
B
A
€
€€
€
+
нам надо
доказать справедливость равенства
(
)
(
)
∫∫
Ψ+Ψ=Ψ+Ψ dxABBAdxABBA
*
1
*
22
*
1
€
€€
€€
€€
€
.
Итак
(
)
∫∫∫
ΨΨ+ΨΨ=Ψ+Ψ dxABdxBAdxABBA
2
*
12
*
12
*
1
€
€
€
€
€
€
€
€
.
Рассмотрим первое слагаемое в правой части
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                                                                    40

                              € 1 €* €   (
           L€ + L€* = 2M€ или M = 2 L + L .       )
                     1
                               (     )
         Далее M€ = L€ + L€ = M€ , т.е. M€ - эрмитов оператор.
                 *
                     2
                             *


         Вычитая (2) из (1), получим:
             i
                   (
         N€ = L€* − L€ ,
             2
                           )
    тогда
                i
                2
                       (   i
                               ) (           )
         N€* = − L€ − L€* = L€* − L€ = N€ - эрмитов оператор.
                           2
         Таким образом, сумма произвольного линейного операто-
    ра L€ и его комплексно сопряженного оператора L€* есть эрмитов
    оператор: L€ + L€* = 2M€ .
        17. Если операторы A€ и B€ - эрмитовы, то

         ∫ Ψ1 A€Ψ2 dx = ∫ Ψ2 A€ Ψ1 dx , а ∫ Ψ1 B€Ψ2 dx = ∫ Ψ2 B€ Ψ1 dx . (*)
            *                  * *           *                  * *


         Складывая правые и левые части равенств (*), получим:

           ∫ Ψ1 (A€ + B€)Ψ2 dx = ∫ Ψ2 (A€         )               (    )
                                             + B€* Ψ1* dx = ∫ Ψ2 A€ + B€ Ψ1* dx ,
               *                         *                              *



    откуда следует эрмитовость оператора A€ + B€ .
        Для выяснения эрмитовости оператора A€B€ + B€A€ нам надо
    доказать справедливость равенства

           ∫ Ψ1 (A€B€ + B€A€)Ψ2 dx = ∫ Ψ2 (A€B€ + B€A€) Ψ1 dx .
               *                                       *   *


    Итак

           ∫ Ψ1 (A€B€ + B€A€)Ψ2 dx = ∫ Ψ1 A€B€Ψ2 dx + ∫ Ψ1 B€A€Ψ2 dx .
               *                         *                  *


         Рассмотрим первое слагаемое в правой части




PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы