Линейные операторы в квантовой механике. Кирсанов А.А. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

41
(
)
∫∫
∫∫
ΨΨ=ΨΨ=
=Ψ=Ψ=ΨΨ=ΨΨ
dxAdxA
BdxBAdxBA
*
1
*
33
*
1
322
*
12
*
1
€€
€€
€
€
€
∫∫
∫∫∫
ΨΨ=ΨΨ=
=ΨΨ=ΨΨ=ΨΨ=Ψ=Ψ=
dxABdxB
dxBdxdxA
*
1
**
2
*
4
*
2
2
*
43
*
4
*
43
*
4
*
1
*
€€€
€
€
Рассуждая подобным образом, мы можем показать, что
∫∫
ΨΨ=ΨΨ dxBAdxAB
*
1
**
22
*
1
€
€
€
€
.
Таким образом мы показали, что если
BAL
€
€
€
1
=
и
ABL
€
€€
2
=
, то
(
)
**
*
*
1
€
€€
€
€
ABBAL ==
, а
(
)
**
*
*
2
€
€€
€€
BAABL ==
.
Тогда окончательно можно записать
(
)
(
)
∫∫
Ψ+Ψ=Ψ+Ψ dxABBAdxABBA
*
1
*
22
*
1
€
€€
€€
€€
€
, что доказывает эр-
митовость оператора
A
B
B
A
€
€€
€
+
.
18. Для доказательства эрмитовости оператора
x
A
∂
∂
=
€
надо
показать, что
∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
∂
Ψ∂
Ψ=
∂
Ψ∂
Ψ dx
x
dx
x
*
1
2
2
*
1
. (*)
При этом мы должны полагать, что
(
)
(
)
0
2
*
1
=∞±Ψ=∞±Ψ
.
Интегрируя по частям левую часть (*), получим:
=Ψ==Ψ
Ψ
==Ψ=
∂
Ψ∂
Ψ
∫
+∞
∞−
22
*
1
*
1
2
*
1
, , , vvddx
dx
d
duudx
x
∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
∞+
∞−
Ψ
−Ψ=
Ψ
Ψ−ΨΨ= dx
dx
d
dx
dx
d
*
1
2
*
1
22
*
1 .
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                                                                       41

         ∫ Ψ1 A€B€Ψ2 dx = ∫ Ψ1 A€(B€Ψ2 )dx = B€Ψ2 = Ψ3             =
               *                     *


                        = ∫ Ψ1* A€Ψ3 dx = ∫ Ψ3 A€* Ψ1* dx

         = A€* Ψ1* = Ψ4* = ∫ Ψ3 Ψ4* dx = ∫ Ψ4* Ψ3 dx = ∫ Ψ4* B€Ψ2 dx =

                                = ∫ Ψ2 B€* Ψ4* dx = ∫ Ψ2 B€* A€* Ψ1* dx


         Рассуждая подобным образом, мы можем показать, что

         ∫Ψ * B€A€Ψ dx = Ψ A€* B€* Ψ * dx .
               1          2      ∫   2         1


         Таким образом мы показали, что если L€1 = A€B€ и L€2 = B€A€ , то

         ( )                             ( )
    L€*1 = A€B€ = B€* A€* , а L€*2 = B€A€ = A€* B€* .
               *                         *


           Тогда окончательно можно записать

         ∫ Ψ1 (A€B€ + B€A€)Ψ2 dx = ∫ Ψ2 (A€B€ + B€A€) Ψ1 dx ,
                                                          *
               *                                              *
                                                                       что доказывает эр-
    митовость оператора A€B€ + B€A€ .
                                                          ∂
        18. Для доказательства эрмитовости оператора A€ =    надо
                                                          ∂x
    показать, что
         +∞                     +∞
                       ∂Ψ2           ∂Ψ1*
          ∫   Ψ1*
                        ∂x
                           dx = ∫ Ψ2
                                      ∂x
                                          dx .                                   (*)
         −∞                     −∞

         При этом мы должны полагать, что Ψ1* (± ∞ ) = Ψ2 (± ∞ ) = 0 .
         Интегрируя по частям левую часть (*), получим:
         +∞
                       ∂Ψ2                     dΨ1*
          ∫ Ψ1             dx = Ψ1* = u , du =      dx, dΨ2 = v, v = Ψ2 =
                   *

         −∞
                        ∂x                      dx

                               +∞             +∞                   *
                         +∞          dΨ1*            dΨ1 
         =    Ψ1* Ψ2          − ∫ Ψ2      dx = ∫ Ψ2  −    dx .
                         −∞
                                −∞
                                      dx      −∞     dx 




PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы