Линейные операторы в квантовой механике. Кирсанов А.А. - 43 стр.

                                                                                           43

    жив A€ = B€ = p€x .
        3. Оператор Гамильтона есть функция от эрмитова опера-
             h2
    тора −      ∆ и оператора U€(x, y , z ) , который тоже эрмитов, в силу
             2m
    вещественности функции U (x, y, z ) . Оператор Гамильтона, таким
    образом, является эрмитовым оператором.
        24. Если операторы L€x , L€y , L€z эрмитовы, то и оператор L€2
    эрмитов, так как является функцией эрмитовых операторов.
        25. Пусть A€ B€ − B€A€ = 0 , тогда
                          i                i

                                  (                   (   )                            )
         A€2 B€ − B€A€2 = ∑ A€i2 B€ − B€A€i2 = ∑ A€i2 B€ − B€A€i2 + A€i B€A€i − A€i B€A€i =

         = ∑ [A€ (A€ B€ − B€A€ ) + (A€ B€ − B€A€ )A€ ] = 0 .
                 i   i            i            i              i   i

                                      €2           € €2
        Таким образом A B€ − BA = 0 и операторы A€2 и B€ комму-
    тируют.
        26.  См. §5.
                                                                             2
                                                  h
         27. Оператор кинетической энергии T€ = −    ∆ зависит толь-
                                                  2m
    ко от радиус вектора r , оператор квадрата момента импульса (в
    сферических координатах) L€2 = −h 2 ∆   зависит только от углов   θ ,ϕ

    θ, ϕ и поэтому не действует на функции зависящие от r . В силу
                              [
    сказанного выше T€, L€2 = 0 .      ]
         28. Составим уравнение для собственных функций
         dΨ          dΨ
            = λΨ или    = λdx .
         dx          Ψ
        Решение этого уравнения есть ln Ψ = λx или Ψ = e λx .
        Так как при x → ±∞ Ψ должна быть конечной, необходимо
    положить λ = im . Окончательно, собственные функции операто-




PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com