Линейные операторы в квантовой механике. Кирсанов А.А. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

42
Сравнивая с правой частью (*) получим
dx
d
dx
d
−=
*
.
Таким образом мы показали, что данный оператор
x
A
∂
∂
=
€
не является эрмитовым.
19. Решается аналогично задаче 18.
20. Оператор, эрмитово сопряженный оператору
a
T
€
опреде-
лится из равенства (3) §1
(
)
(
)
(
)
(
)
∫∫
ΨΨ=ΨΨ dxxTxdxxTx
a
*
1
*
222
*
1
€
€
, (1)
которое можно переписать так:
(
)
(
)
(
)
(
)
∫∫
+ΨΨ=ΨΨ= dxaxxdxxTxI
a 2
*
12
*
1
€
. (2)
Сделаем замену переменной, положив
axx
+
=
′
.
Так как
a
мало, а интегрирование ведётся по всему про-
странству, замена переменной не скажется на пределах интегри-
рования.
(
)
(
)
∫
′′
Ψ−
′
Ψ= xdxaxI
2
*
1
. (3)
Очевидно, что
(
)
(
)
xTax
a 11
€
Ψ=−Ψ
−
и тогда правая часть (2) может быть записана как
() ()
[
]
∫
ΨΨ=
−
dxxTxI
a
*
12
€
.
Сравнивая с правой частью (1) получим
aa
TT
−
=
€
€
*
.
21. См. решение предыдущей задачи..
22. Решается способом, изложенным в задаче 17.
23. 1. Для выяснения вопроса об эрмитовости оператора
x
p
€
можно воспользоваться результатами решения задачи 19.
2. Для выяснения вопроса об эрмитовости оператора
2
€
x
p
можно воспользоваться результатами решения задачи 17, поло-
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                                                             42
                                                               *
                                                d    d
          Сравнивая с правой частью (*) получим   = − .
                                                 dx  dx
                                                             ∂
         Таким образом мы показали, что данный оператор A€ =
                                                             ∂x
    не является эрмитовым.
         19. Решается аналогично задаче 18.
         20. Оператор, эрмитово сопряженный оператору T€ опреде-   a
    лится из равенства (3) §1

         ∫ Ψ1 (x )T€a Ψ2 (x )dx = ∫ Ψ2 (x )T€2 Ψ1 (x )dx ,
            *                                 * *
                                                                       (1)
          которое можно переписать так:
          I = Ψ * (x )T€ Ψ (x )dx = Ψ * ( x )Ψ ( x + a )dx .
               ∫   1        a   2       ∫     1   2                    (2)
         Сделаем замену переменной, положив x ′ = x + a .
         Так как a мало, а интегрирование ведётся по всему про-
    странству, замена переменной не скажется на пределах интегри-
    рования.
          I = ∫ Ψ1* (x ′ − a )Ψ2 (x ′)dx′ .                            (3)
          Очевидно, что
          Ψ1 (x − a ) = T€−a Ψ1 (x )
          и тогда правая часть (2) может быть записана как

                        [           ]
          I = ∫ Ψ2 ( x ) T€−a Ψ1 (x ) dx .
                                     *



          Сравнивая с правой частью (1) получим T€a* = T€− a .
          21. См. решение предыдущей задачи..
          22. Решается способом, изложенным в задаче 17.
        23. 1. Для выяснения вопроса об эрмитовости оператора p€x
    можно воспользоваться результатами решения задачи 19.
        2. Для выяснения вопроса об эрмитовости оператора p€x2
    можно воспользоваться результатами решения задачи 17, поло-




PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы