Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 102 стр.

102                                                                    Ãëàâà ÷åòâ¸ðòàÿ
      §4.3. Èíòåãðàëû êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ è ìîìåíòà
            êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ

       ýòîì ïàðàãðàôå ìû ðàññìîòðèì äâà òèïà öèêëè÷åñêèõ êîîðäè-
íàò, êîòîðûå íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþòñÿ â äèíàìè÷åñêèõ çàäà÷àõ. Ýòè
âîïðîñû, íî ñ äðóãîé òî÷êè çðåíèÿ, ìû ðàññìàòðèâàëè âî âòîðîé ãëàâå.

      1. Ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñ èíòåãðàëîì êîëè÷åñòâà äâèæå-
íèÿ. Ïóñòü    q1 , q2 ,..., qn êîîðäèíàòû íåêîòîðîé êîíñåðâàòèâíîé ãîëî-
íîìíîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñ n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, à                       T èV -
å¸ êèíåòè÷åñêàÿ è ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèè.
     Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ òàêîé ñèñòåìû áóäóò èìåòü âèä

      d  ∂T         ∂T      ∂V
                    −   =−               ,    (r = 1,2,..., n ) .            (4.3.1)
      dt  ∂q& r     ∂qr    ∂qr

     Ïóñòü îäíà èç êîîðäèíàò, íàïðèìåð q1 , ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêîé è
÷òî îíà, êðîìå òîãî, îáëàäàåò òåì ñâîéñòâîì, ÷òî èçìåíåíèå å¸ íà âåëè-
÷èíó l , ïðè ñîõðàíåíèè çíà÷åíèé îñòàëüíûõ êîîðäèíàò                      q2 , q3 ,..., qn ,
ñîîòâåòñòâóåò ïîñòóïàòåëüíîìó ïåðåìåùåíèþ âñåé ñèñòåìû ìàòåðèàëü-
íûõ òî÷åê íà îòðåçîê l ïî êàêîìó-íèáóäü îïðåäåë¸ííîìó íàïðàâëåíèþ.
Ïðèìåì ýòî íàïðàâëåíèå çà îñü x íåêîòîðîé äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîð-
äèíàò. Ïîñêîëüêó êîîðäèíàòà              q1 öèêëè÷åñêàÿ, ìû ìîæåì íàïèñàòü èí-
òåãðàë:
      ∂T
           = const .                                                            (4.3.2)
      ∂q&1
     Âûÿñíèì ôèçè÷åñêèé ñìûñë ýòîãî èíòåãðàëà. Òàê êàê êèíåòè÷åñ-
êàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê â äàííîì ñëó÷àå åñòü

                   mr (x& r2 + y& r2 + z&r2 ),
            1 n
      T=      ∑
            2 r =1
                                                                                (4.3.3)

òî