Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 105 стр.

Ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ                                                        105
       Òåïåðü (4.3.4) ìîæíî çàïèñàòü òàê
       ∂T     n
           = ∑ mr (− x& r y r + y& r x r ) .                            (4.3.8)
       ∂q&1 r =1
     Ñðàâíèâàÿ (4.3.8) ñ (2.3.4), ìû ìîæåì ñêàçàòü, ÷òî óðàâíåíèå (4.3.8)
âûðàæàåò òåîðåìó î ñîõðàíåíèè ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ.
     Åñëè ñâÿçè äîïóñêàþò âðàùåíèå ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê êàê
òâ¸ðäîãî òåëà îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé îñè è åñëè ïðè ýòîì ïîòåíöèàëü-
íàÿ ýíåðãèÿ íå èçìåíÿåòñÿ, òî ìîìåíò êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ñèñòåìû
ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê îòíîñèòåëüíî ýòîé îñè åñòü âåëè÷èíà ïîñòîÿííàÿ.

       §4.4. Óðàâíåíèå ýíåðãèè

    Ñäåëàåì âûâîä èíòåãðàëà óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, èãðàþùåãî î÷åíü
âàæíóþ ðîëü âî âñåõ äèíàìè÷åñêèõ çàäà÷àõ è â ôèçèêå âîîáùå.
    Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì äàíà êîíñåðâàòèâíàÿ ñèñòåìà ìàòåðèàëü-
íûõ òî÷åê ñ êîîðäèíàòàìè         q1 , q2 ,..., qn è ñ êèíåòè÷åñêèì ïîòåíöèàëîì
L íå çàâèñÿùèìè îò âðåìåíè. Ñëåäîâàòåëüíî, êèíåòè÷åñêèé ïîòåíöèàë
L íå ñîäåðæèò ÿâíî âðåìÿ t , à çàâèñèò òîëüêî îò ïåðåìåííûõ
q1 , q2 ,..., qn , q&1 , q& 2 ,..., q& n . Ïðîäèôôåðåíöèðóåì êèíåòè÷åñêèé ïîòåíöè-
àë   L ïî âðåìåíè
       dL  n
               ∂L             n
                                 ∂L
          =∑         q&&r + ∑         q& r =
       dt r =1 ∂q& r        r =1 ∂q r

          n
                  ∂L      n
                               d  ∂L       d n       ∂L
       = ∑ q&&r        + ∑ q& r           = ∑ q& r      .           (4.4.1)
         r =1     ∂q& r r =1 dt  ∂q& r      dt r =1 ∂q& r
      Çäåñü ìû ó÷ëè, ÷òî â ñîîòâåòñòâèè ñ óðàâíåíèåì Ëàãðàíæà (3.4.5)

       ∂L  d  ∂L         
          =              .
       ∂qr dt  ∂q& r      
      Èíòåãðèðóÿ óðàâíåíèå (4.4.1) ïîëó÷èì: