Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 107 стр.

Ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ                                                    107
ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (å¸ Ëàãðàíæèàí) èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî
ïðåîáðàçîâàíèÿ, õàðàêòåðèçóþùåãî «öèêëè÷åñêîå» äâèæåíèå, òî åñòü
óñòàíàâëèâàåòñÿ íåïîñðåäñòâåííàÿ ñâÿçü ìåæäó ñèììåòðèÿìè òèïà îä-
íîðîäíîñòè è èçîòðîïíîñòè ïðîñòðàíñòâà è îäíîðîäíîñòè âðåìåíè ñ
çàêîíàìè ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà, ìîìåíòà èìïóëüñà è ýíåðãèè. Õàðàê-
òåð öèêëè÷åñêîé êîîðäèíàòû (òðàíñëÿöèîííûé èëè âðàùàòåëüíûé) óêà-
çûâàåò íà òèï ñîõðàíÿþùåéñÿ âåëè÷èíû (èìïóëüñ èëè ìîìåíò èìïóëü-
ñà). Ðàññìàòðèâàÿ â êà÷åñòâå öèêëè÷åñêîé êîîðäèíàòû âðåìÿ (âðåìÿ
èìååò òðàíñëÿöèîííûé õàðàêòåð), ìû ïîëó÷èì çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåð-
ãèè, óñòàíîâèâ, òàêèì îáðàçîì, ñâÿçü ìåæäó ñèììåòðèåé òèïà îäíîðîä-
íîñòè âðåìåíè ñ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè.


      §4.5. Óìåíüøåíèå ÷èñëà ñòåïåíåé ñâîáîäû ñèñòåìû
            ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ïðè ïîìîùè óðàâíåíèÿ
            ýíåðãèè. Ìåòîä Óèòòåêåðà

     Åñëè ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê èìååò âñåãî ëèøü îäíó ñòåïåíü
ñâîáîäû, òî íà îñíîâàíèè óðàâíåíèÿ ýíåðãèè å¸ äâèæåíèå ìîæåò áûòü
îïðåäåëåíî ïðè ïîìîùè êâàäðàòóð.
     Ïóñòü q åñòü îáîáù¸ííàÿ êîîðäèíàòà òàêîé ñèñòåìû ìàòåðèàëü-
íûõ òî÷åê, òîãäà èíòåãðàë ýíåðãèè
          ∂L
     q&       −L=h                                                  (4.5.1)
          ∂q&
óñòàíàâëèâàåò ñâÿçü ìåæäó      q è q& . Ïóñòü ýòà ñâÿçü èìååò âèä
     q& = f (q ) ,                                                  (4.5.2)
òîãäà èíòåãðèðîâàíèå (4.5.2) äà¸ò ðåøåíèå çàäà÷è â âèäå:
             dq
     t=∫           + const .                                        (4.5.3)
            f (q )
     Åñëè ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê áîëü-
øå åäèíèöû, òî îäíîãî óðàâíåíèÿ ýíåðãèè óæå íåäîñòàòî÷íî äëÿ å¸ ðàç-
ðåøåíèÿ. Íî èíòåãðàë ýíåðãèè, òàê æå êàê èíòåãðàëû, ñîîòâåòñòâóþùèå
öèêëè÷åñêèì êîîðäèíàòàì, ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ óìåíüøåíèÿ ÷èñëà
ñòåïåíåé ñâîáîäû ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.