Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 109 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

109
Ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ
∑∑
==
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
n
r
n
m
m
m
r
r
q
q
q
L
q
q
q
L
q
L
q
W
21
1111
&
&
&&
&
&&&
, (4.5.13)
îòêóäà
1
1
1
q
q
W
q
q
L
n
m
m
m
&
&
&
&
∂
∂
=
∂
∂
∑
=
. (4.5.14)
Ìû èñïîëüçîâàëè íîâûé èíäåêñ ñóììèðîâàíèÿ m äëÿ òîãî, ÷òî-
áû âíåñòè äðîáü
1
q
L
&
∂
∂
ïîä çíàê ñóììû. Ïðè ýòîì èíäåêñ nr ,...,3,2= , à
èíäåêñ
nm ,...,2,1=
.
Âåðí¸ìñÿ âíîâü ê îáîáù¸ííîìó èíòåãðàëó ýíåðãèè
∑
=
=−
∂
∂
n
r
r
r
hL
q
L
q
1
&
&
, (4.4.2)
ñ ó÷¸òîì (4.5.14) åãî ìîæíî çàïèñàòü
hL
q
W
q =−
∂
∂
1
1
&
&
, (4.5.15)
èëè, â ñèëó (4.5.8),
hW
q
W
q =−
∂
∂
1
1
&
&
. (4.5.16)
Ðåøàÿ (4.5.16), íàéä¸ì
()
rm
qqfq
′
=
,
1
&
,
()
nrnm,...,3,2;,...,2,1
==
. (4.5.17)
Åñëè òåïåðü ïîäñòàâèòü íàéäåííîå çíà÷åíèå
1
q
&
â
1
q
W
&
∂
∂
, ìû ïîëó-
÷èì íîâóþ ôóíêöèþ
()
1
,
q
W
qqL
rm
&
∂
∂
=
′′
, (4.5.18)
êîòîðóþ â äàëüíåéøåì áóäåì íàçûâàòü ôóíêöèåé Óèòòåêåðà. Ïîäñòà-
Ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ                                                                     109

      ∂W ∂L       n
                     ∂L q& r    n
                                     ∂L q& m
          =    +∑             =∑              ,                                      (4.5.13)
      ∂q&1 ∂q&1 r =2 ∂q& r q&1 m =1 ∂q& m q&1
îòêóäà
       n
              ∂L                ∂W
      ∑ ∂q&
      m =1
                      q& m =
                                ∂q&1
                                     q&1 .                                           (4.5.14)
                  m

     Ìû èñïîëüçîâàëè íîâûé èíäåêñ ñóììèðîâàíèÿ                               m äëÿ òîãî, ÷òî-
                          ∂L
áû âíåñòè äðîáü                ïîä çíàê ñóììû. Ïðè ýòîì èíäåêñ r = 2,3,..., n , à
                          ∂q&1
èíäåêñ m = 1,2,..., n .
     Âåðí¸ìñÿ âíîâü ê îáîáù¸ííîìó èíòåãðàëó ýíåðãèè
       n
                  ∂L
      ∑ q&
      r =1
              r
                  ∂q& r
                        − L = h,                                                     (4.4.2)

ñ ó÷¸òîì (4.5.14) åãî ìîæíî çàïèñàòü
             ∂W
      q&1         −L = h,                                                            (4.5.15)
             ∂q&1
èëè, â ñèëó (4.5.8),
             ∂W
      q&1         −W = h .                                                           (4.5.16)
             ∂q&1
     Ðåøàÿ (4.5.16), íàéä¸ì
      q&1 = f (qm , qr′ ) ,          (m = 1,2,..., n; r = 2,3,..., n ) .             (4.5.17)

                                                                             ∂W
     Åñëè òåïåðü ïîäñòàâèòü íàéäåííîå çíà÷åíèå                       q&1 â          , ìû ïîëó-
                                                                             ∂ q& 1
÷èì íîâóþ ôóíêöèþ
                               ∂W
      L′(qm , qr′ ) =               ,                                                (4.5.18)
                               ∂q&1
êîòîðóþ â äàëüíåéøåì áóäåì íàçûâàòü ôóíêöèåé Óèòòåêåðà. Ïîäñòà-

Страницы