Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 108 стр.

108                                                                                 Ãëàâà ÷åòâ¸ðòàÿ
      Ïóñòü
       L = L(q1 , q 2 ,..., q n , q&1 , q& 2 ,..., q& n ) .                                (4.5.4)

      Çàìåíèì           â    (4.5.4)       âåëè÷èíû            q& 2 , q& 3 ,..., q& n   âåëè÷èíàìè

q&1 q 2′ , q&1 q3′ ,..., q&1q ′n , ãäå â ñîîòâåòñòâèè ñ (3.1.3)
                dqr q& r dqr′    q&
       qr′ =       =    ,     = − r2 ,                                                     (4.5.5)
                dq1 q&1 dq&1     q&1
à

       q& r =
                dqr dqr dq1
                    =        = q&1qr′ ,                 (r = 2,3,..., n ) .                (4.5.6)
                 dt   dq1 dt
è ïîëó÷åííóþ â ðåçóëüòàòå ôóíêöèþ îáîçíà÷èì
      W = W (q&1 , q ′2 ,..., q n′ ) .                                                     (4.5.7)
      Äèôôåðåíöèðóÿ ðàâåíñòâî
       L(q1 , q2 ,..., qn , q&1 , q& 2 ,..., q& n ) = W (q&1 , q2′ ,..., qn′ ),            (4.5.8)
ñ ó÷¸òîì (4.5.5), ïîëó÷èì:
       ∂L ∂W       n
                       ∂W ∂qr′ ∂W       n
                                            ∂W q& r
           =    +∑              =    −∑               ,                                    (4.5.9)
       ∂q&1 ∂q&1 r = 2 ∂qr′ ∂q&1 ∂q&1 r = 2 ∂qr′ q&12

       ∂L ∂W ∂qr′        1 ∂W
            =          =         ,                  (r = 2,3,..., n ) ,                    (4.5.10)
       ∂q& r ∂qr′ ∂q& r q&1 ∂qr′
       ∂L ∂W
           =     ,                   (r = 2 ,3,..., n ) .                                  (4.5.11)
       ∂q r ∂q r
      Èç óðàâíåíèé (4.5.9) ñëåäóåò:
       ∂W    ∂L    n
                      ∂W q& r
           =    +∑               .                                                         (4.5.12)
       ∂q&1 ∂q&1 r =2 ∂q ′r q&12
      Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå (4.5.10), ïîëó÷èì