Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 106 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

106 Ãëàâà ÷åòâ¸ðòàÿ
∑
=
=−
∂
∂
n
r
r
r
hL
q
L
q
1
&
&
, (4.4.2)
ãäå
h
- ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ. Óðàâíåíèå (4.4.2) ïðåäñòàâëÿþùåå
ñîáîé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì ýíåðãèè èëè
çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè.
 §3.4. ìû óñòàíîâèëè, ÷òî äëÿ íàòóðàëüíîé ñèñòåìû ìàòåðèàëü-
íûõ òî÷åê, ñâÿçè êîòîðûõ íå çàâèñÿò îò âðåìåíè, êèíåòè÷åñêèé ïîòåí-
öèàë L ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí êàê
VTL −=
, ãäå êèíåòè÷åñêàÿ ýíåð-
ãèÿ
T
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíîðîäíóþ ôóíêöèþ âòîðîãî ïîðÿäêà îò-
íîñèòåëüíî ñêîðîñòåé, à ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ
V
çàâèñèò òîëüêî îò
êîîðäèíàò. Ñ ó÷¸òîì âûøåñêàçàííîãî èíòåãðàë ýíåðãèè (4.4.2) ïðèìåò
âèä: VTVTTVT
q
L
qL
q
L
qh
n
r
n
r
r
r
r
r
+=+−=+−
∂
∂
=−
∂
∂
=
∑∑
==
2
11
&
&
&
&
,
èëè
VTh +=
. (4.4.3)
Ïðè âûâîäå óðàâíåíèÿ (4.4.3) ìû ó÷ëè, ÷òî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ
T åñòü îäíîðîäíàÿ ôóíêöèÿ îò îáîáù¸ííûõ ñêîðîñòåé è äëÿ íàòóðàëü-
íîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé Ýéëåðà îá
îäíîðîäíûõ ôóíêöèÿõ ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ óðàâíåíèåì (3.5.4)
T
q
L
q
n
r
r
r
2
1
=
∂
∂
∑
=
&
&
. (3.5.4)
Ôèçè÷åñêèé ñìûñë óðàâíåíèÿ (4.4.3) çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì:
 êîíñåðâàòèâíûõ íàòóðàëüíûõ ñèñòåìàõ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñóì-
ìà êèíåòè÷åñêîé è ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèé åñòü âåëè÷èíà ïîñòîÿííàÿ. Ýòî
ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå íàçûâàåòñÿ ïîëíîé ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèåé ñèñòåìû
ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.
Çàìå÷àíèå.
Äâà ïîñëåäíèõ ïàðàãðàôà ïîçâîëÿþò íàì ñäåëàòü ñëåäóþùèé
âûâîä:
Öèêëè÷åñêèé õàðàêòåð êîîðäèíàòû ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü äâè-
æåíèå ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê êàê öåëîãî, ñîîòâåòñòâóþùåå ýòîé
êîîðäèíàòå, êîòîðîå íèêàê íå ñêàçûâàåòñÿ íà äèíàìè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ
ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Ýòî ãîâîðèò î òîì, ÷òî ñèñòåìà äèôôå-
106                                                             Ãëàâà ÷åòâ¸ðòàÿ

         n
                    ∂L
       ∑ q&
        r =1
                r
                    ∂q& r
                          − L = h,                                       (4.4.2)


ãäå h - ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ. Óðàâíåíèå (4.4.2) ïðåäñòàâëÿþùåå
ñîáîé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì ýíåðãèè èëè
çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè.
     Â §3.4. ìû óñòàíîâèëè, ÷òî äëÿ íàòóðàëüíîé ñèñòåìû ìàòåðèàëü-
íûõ òî÷åê, ñâÿçè êîòîðûõ íå çàâèñÿò îò âðåìåíè, êèíåòè÷åñêèé ïîòåí-
öèàë L ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí êàê L = T − V , ãäå êèíåòè÷åñêàÿ ýíåð-
ãèÿ T ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíîðîäíóþ ôóíêöèþ âòîðîãî ïîðÿäêà îò-
íîñèòåëüíî ñêîðîñòåé, à ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ V çàâèñèò òîëüêî îò
êîîðäèíàò. Ñ ó÷¸òîì âûøåñêàçàííîãî èíòåãðàë ýíåðãèè (4.4.2) ïðèìåò
                n
                         ∂L            n
                                            ∂L
âèä:   h = ∑ q& r              − L = ∑ q& r       − T + V = 2T − T + V = T + V ,
               r =1      ∂q& r       r =1   ∂q& r
èëè
       h = T +V .                                            (4.4.3)
       Ïðè âûâîäå óðàâíåíèÿ (4.4.3) ìû ó÷ëè, ÷òî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ
T åñòü îäíîðîäíàÿ ôóíêöèÿ îò îáîáù¸ííûõ ñêîðîñòåé è äëÿ íàòóðàëü-
íîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé Ýéëåðà îá
îäíîðîäíûõ ôóíêöèÿõ ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ óðàâíåíèåì (3.5.4)
         n
                      ∂L
       ∑ q&
        r =1
                r
                      ∂q& r
                            = 2T .                                       (3.5.4)

     Ôèçè÷åñêèé ñìûñë óðàâíåíèÿ (4.4.3) çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì:
      êîíñåðâàòèâíûõ íàòóðàëüíûõ ñèñòåìàõ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñóì-
ìà êèíåòè÷åñêîé è ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèé åñòü âåëè÷èíà ïîñòîÿííàÿ. Ýòî
ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå íàçûâàåòñÿ ïîëíîé ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèåé ñèñòåìû
ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.
     Çàìå÷àíèå.
     Äâà ïîñëåäíèõ ïàðàãðàôà ïîçâîëÿþò íàì ñäåëàòü ñëåäóþùèé
âûâîä:
     Öèêëè÷åñêèé õàðàêòåð êîîðäèíàòû ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü äâè-
æåíèå ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê êàê öåëîãî, ñîîòâåòñòâóþùåå ýòîé
êîîðäèíàòå, êîòîðîå íèêàê íå ñêàçûâàåòñÿ íà äèíàìè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ
ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Ýòî ãîâîðèò î òîì, ÷òî ñèñòåìà äèôôå-

Страницы