Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 188 стр.

188                                                    Ãëàâà    âîñüìàÿ

              ∂K ′
      pr =         ,    r = 1,2,..., n − 1 ,                     (8.2.34)
              ∂qr
      pn = γ .                                                   (8.2.35)

      Çäåñü   qn 0 = −β n çàâèñèò ëèøü îò âûáîðà íà÷àëà îòñ÷¸òà öèêëè÷åñ-
êîé êîîðäèíàòû         qn . Ïîñòîÿííàÿ γ = αn îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíîé (ñî-
õðàíÿþùåãîñÿ) èìïóëüñà, ñîîòâåòñòâóþùåãî öèêëè÷åñêîé êîîðäèíàòå       qn .
     3. ×àñòî K ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû ôóíêöèé, êàæäàÿ èç
êîòîðûõ çàâèñèò ëèøü îò îäíîé êîîðäèíàòû q è ïîñòîÿííûõ α (èëè
èõ ÷àñòè). Åñëè äëÿ óðàâíåíèÿ (8.2.25) ñóùåñòâóåò ïîëíûé èíòåãðàë òà-
êîãî âèäà, òî ãîâîðÿò, ÷òî ñèñòåìà äîïóñêàåò ðàçäåëåíèå âûáðàííûõ ïå-
ðåìåííûõ. Ê òàêèì ñèñòåìàì îòíîñÿòñÿ ïî÷òè âñå ñèñòåìû ìàòåðèàëü-
íûõ òî÷åê ýëåìåíòàðíîé äèíàìèêè. Âîçìîæíîñòü ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåí-
íûõ çàâèñèò îò ñàìîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê è îò âûáðàííûõ äëÿ
å¸ îïèñàíèÿ îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò.

     Ðàññìîòðèì ïðèëîæåíèå òåîðåìû Ãàìèëüòîíà-ßêîáè ê çàäà÷àì,
êîòîðûå ìû óæå íåîäíîêðàòíî ðåøàëè.

      §8.3. Ïðèëîæåíèÿ òåîðåìû Ãàìèëüòîíà-ßêîáè

     1. Ïëîñêîå äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè åäèíè÷íîé ìàññû ïîä
äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè Íüþòîíà.
     Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî äâèæåíèå ïðîèñõîäèò â ïëîñêîñòè x, y , ñîñòà-
âèì âûðàæåíèå ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà â âèäå

      H=
              2
               (
              1 2
                            )
                p x + p 2y + gy ,                                (8.3.1)

à óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ (8.2.3), ñ ó÷¸òîì (8.2.5),
ïðèìåò âèä
                                       2
      ∂ S 1  ∂S  1  ∂S 
                        2

         +   +   + gy = 0 .                                  (8.3.2)
      ∂t 2  ∂x   2  ∂y 