Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 189 стр.

Òåîðåìà Ãàìèëüòîíà-ßêîáè                                             189
      Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà íå çàâèñèò îò âðåìåíè t è êîîð-
äèíàòà x ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêîé, ìû ìîæåì â ñîîòâåòñòâèè ñ (8.2.24) è
(8.2.29) íàïèñàòü
     S = − ht + αx + ϕ( y ) .                                    (8.3.3)
     Ïîäñòàâèâ (8.3.3) â óðàâíåíèå (8.3.2), ïîëó÷èì
     ϕ′2 = 2h − 2 gy − α2 .                                      (8.3.4)
     Çäåñü ìû ó÷ëè, ÷òî
     ∂S        ∂S      ∂S
        = −h ,    = α,    = ϕ′ .
     ∂t        ∂x      ∂y
     Ïðè ìàêñèìàëüíîé âûñîòå ïîäú¸ìà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè
     2h − 2 gy − α2 = 0 ,
îòêóäà ìîæíî îïðåäåëèòü âåëè÷èíó         k = y max , õàðàêòåðèçóþùóþ ìàê-
ñèìàëüíóþ âûñîòó ïîäú¸ìà

          2h − α 2
     k=            .                                             (8.3.5)
            2g
     Òåïåðü óðàâíåíèå (8.3.4) çàïèøåòñÿ â âèäå
     ϕ′2 = 2 g (k − y ).                                         (8.3.6)

     Èíòåãðèðóÿ (8.3.6) îò      y äî k = y max , ïîëó÷èì
             k                          k−y

     ϕ( y ) = ∫ 2 g (k − z )dz = 2 g     ∫       u du .          (8.3.7)
             y                           0

Ìû ïîëó÷èëè ïîëíûé èíòåãðàë, ñîäåðæàùèé äâà ïàðàìåòðà α è k .
    Ñîñòàâèì âûðàæåíèå äëÿ ãëàâíîé ôóíêöèè (8.3.3)
                                          k−y
          1        
     S = − α2 + gk t + αx + 2 g
          2        
                                             ∫
                                             0
                                                  u du .         (8.3.8)

     Äâèæåíèå â ïëîñêîñòè        x, y áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü óðàâíåíèÿì