Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 191 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

191
Òåîðåìà Ãàìèëüòîíà-ßêîáè
2. Ãàðìîíè÷åñêèé îñöèëëÿòîð.
Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà äâèæåòñÿ ïîä äåéñòâèåì âîññòàíàâëèâàþùåé
ñèëû xnX
2
= .
Ïðîèíòåãðèðóåì óðàâíåíèå xnxm
2
=
&&
. Ïåðåïèøåì äàííîå óðàâ-
íåíèå â âèäå xn
dt
xd
m
2
=
&
. Óìíîæàÿ ïðàâóþ è ëåâóþ ÷àñòè ïîñëåäíåãî
ðàâåíñòâà íà
x
&
ïîëó÷èì
dt
dx
xn
dt
xd
xm
2
=
&
&
, èëè xdxnxdxm
2
=
&&
.
Èíòåãðèðóÿ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïîëó÷èì
222
2
1
2
1
xnxm =
&
,
ãäå
22
2
1
xnV = ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ. Ñ÷èòàÿ ìàññó ìàòåðèàëüíîé
òî÷êè ðàâíîé åäèíèöå, çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà
(ñì. çàäà÷ó ¹26)
()
222
2
1
xnpH
+=
. (8.3.14)
Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïðèìåò âèä
0
2
1
2
1
22
2
=+
∂
∂
+
∂
∂
xn
x
S
t
S
. (8.3.15)
×òîáû íàéòè ïîëíûé èíòåãðàë, ïîëîæèì, â ñîîòâåòñòâèè ñ (8.2.24)
()
xtnS
ϕ+α−=
22
2
1
. (8.3.16)
Ïîäñòàâëÿÿ (8.3.16) â (8.3.15), ïîëó÷èì
()
2222
xn
−α=ϕ
′
(8.3.17)
èëè
Òåîðåìà Ãàìèëüòîíà-ßêîáè                                                       191
       2. Ãàðìîíè÷åñêèé îñöèëëÿòîð.
       Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà äâèæåòñÿ ïîä äåéñòâèåì âîññòàíàâëèâàþùåé

ñèëû   X = n2x .

       Ïðîèíòåãðèðóåì óðàâíåíèå            m&x& = n 2 x . Ïåðåïèøåì äàííîå óðàâ-
                    dx&
íåíèå â âèäå    m       = n 2 x . Óìíîæàÿ ïðàâóþ è ëåâóþ ÷àñòè ïîñëåäíåãî
                    dt
                                        dx&        dx
ðàâåíñòâà íà x& ïîëó÷èì           mx&       = n 2 x , èëè mx&dx& = n 2 xdx .
                                        dt         dt
       Èíòåãðèðóÿ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïîëó÷èì
       1 2 1 2 2
         mx& = n x ,
       2      2
           1 2 2
ãäå   V=     n x ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ. Ñ÷èòàÿ ìàññó ìàòåðèàëüíîé
           2
òî÷êè ðàâíîé åäèíèöå, çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà
(ñì. çàäà÷ó ¹26)

       H=
             2
               (
             1 2
                 p + n 2 x 2 ).                                          (8.3.14)

       Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïðèìåò âèä

       ∂S 1  ∂S  1 2 2
                       2

         +   + n x = 0.                                                (8.3.15)
       ∂t 2  ∂x  2
       ×òîáû íàéòè ïîëíûé èíòåãðàë, ïîëîæèì, â ñîîòâåòñòâèè ñ (8.2.24)

                 n α t + ϕ (x ).
               1 2 2
       S=−                                                               (8.3.16)
               2
       Ïîäñòàâëÿÿ (8.3.16) â (8.3.15), ïîëó÷èì
       ϕ′2 = n 2 (α2 − x 2 )                                             (8.3.17)
èëè

Страницы