Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 193 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

193
Òåîðåìà Ãàìèëüòîíà-ßêîáè
()
Vh
K
rr
K
−=
θ∂
∂
+
∂
∂
2
1
2
2
2
. (8.3.23)
Íàì íåîáõîäèìî íàéòè ðåøåíèå, êîòîðîå êðîìå
h
, ñîäåðæàëî áû
åù¸ ïðîèçâîëüíóþ ïîñòîÿííóþ
α
. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî êîîðäèíàòà
θ
öèê-
ëè÷åñêàÿ, ïîëîæèì
RK +αθ=
, (8.3.24)
ãäå
()
rRR
=
. Ïîäñòàâëÿÿ (8.3.24) â (8.3.23), ïîëó÷èì
2
2
2
22
r
VhR
α
−−=
′
. (8.3.25)
Ïîëàãàÿ
()
rf
r
Vh
=
α
−−
2
2
22
, çàïèøåì (8.3.24) â âèäå
() ()
∫∫
ξξαθ=ξ
ξ
α
−ξ−+αθ=
r
a
r
a
dfdVhK
2
2
22
. (8.3.26)
Çäåñü ñëåäóåò èìåòü â âèäó, ÷òî a åñòü ïðîñòîé íóëü ôóíêöèè
()
rf .
 áîëüøåé ÷àñòè ñëó÷àåâ äâèæåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèáðàöèþ ïî r
ìåæäó äâóìÿ ïðîñòûìè íóëÿìè
a
è
b
ôóíêöèè
()
rf , ïðè÷¸ì
()
0
>
rf
ïðè bra << . Ðåøåíèå çàäà÷è Ëàãðàíæà (äâèæåíèå ÷àñòèöû â ïëîñêî-
ñòè) îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèÿìè
()
∫
ξ
ξ
=
∂
∂
=−
r
a
f
d
h
K
tt
0
(8.3.27)
è
()
()
∫
ξ
ξξα
−θ=β−
r
a
f
d
2
, (8.3.28)
èëè
Òåîðåìà Ãàìèëüòîíà-ßêîáè                                               193

        ∂K    1  ∂K 
              2                   2

            + 2      = 2(h − V ) .                             (8.3.23)
        ∂r  r  ∂θ 
       Íàì íåîáõîäèìî íàéòè ðåøåíèå, êîòîðîå êðîìå h , ñîäåðæàëî áû
åù¸ ïðîèçâîëüíóþ ïîñòîÿííóþ α . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî êîîðäèíàòà θ öèê-
ëè÷åñêàÿ, ïîëîæèì
       K = αθ + R ,                                                (8.3.24)
ãäå   R = R (r ) . Ïîäñòàâëÿÿ (8.3.24) â (8.3.23), ïîëó÷èì
                                 α2
       R′2 = 2h − 2V −              .                              (8.3.25)
                                 r2
                        α2
       Ïîëàãàÿ 2h − 2V − 2 = f (r ), çàïèøåì (8.3.24) â âèäå
                        r

                                         α2
                   r                               r
       K = αθ + ∫ 2h − 2V (ξ) −             dξ = αθ∫   f (ξ)dξ .   (8.3.26)
                   a
                                         ξ2        a

                                a åñòü ïðîñòîé íóëü ôóíêöèè f (r ) .
       Çäåñü ñëåäóåò èìåòü â âèäó, ÷òî
 áîëüøåé ÷àñòè ñëó÷àåâ äâèæåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèáðàöèþ ïî    r
ìåæäó äâóìÿ ïðîñòûìè íóëÿìè a è b ôóíêöèè f (r ) , ïðè÷¸ì f (r ) > 0
ïðè a < r < b . Ðåøåíèå çàäà÷è Ëàãðàíæà (äâèæåíèå ÷àñòèöû â ïëîñêî-
ñòè) îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèÿìè

                  ∂K             dξ
                         r


                  ∂h ∫a
       t − t0 =      =                                             (8.3.27)
                                 f (ξ)
è

       −β = θ− ∫
                   r
                       (α ξ )dξ ,
                             2
                                                                   (8.3.28)
                   a      f (ξ)
èëè

Страницы