Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 194 стр.

194                                                              Ãëàâà   âîñüìàÿ


      θ − θ0 = ∫
                   r
                       (α ξ )dξ .
                                2
                                                                          (8.3.29)
                   a           f (ξ)

    4. Ñôåðè÷åñêèé ìàÿòíèê.
    Âîñïîëüçóåìñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è ¹21. Ôîðìóëà (3.7.28) äàñò íàì
âûðàæåíèå äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè

      T=
              1 2 &2
              2
                       (
                ml θ + sin 2 θϕ& 2 ,           )                          (8.3.30)

à äëÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè çàïèøåì
      V = mgl cos θ = ml 2 n 2 cos θ ,                                    (8.3.31)

ãäå n = g l . Ïîëàãàÿ ìíîæèòåëü
      2
                                                    ml 2 ðàâíûì åäèíèöå, ïåðåïèøåì
(8.3.30) è (8.3.31) â âèäå

      T=
              2
               (
              1 &2
                θ + sin 2 θϕ& 2 ,      )       V = n 2 cos θ .            (8.3.32)

      Ñîñòàâèì âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà
              1 2     1   2
      H=        pθ + 2 pϕ  + n cos θ .
                                2
                                                                          (8.3.33)
              2     sin θ 
     Ìîäèôèöèðîâàííîå óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà â ÷àñòíûõ ïðîèçâîä-
íûõ áóäåò èìåòü âèä
                                           2
       ∂K     1  ∂K 
               2

           + 2         = 2(h − n 2 cos θ) .                           (8.3.34)
       ∂θ   sin θ  ∂ϕ 
      Äëÿ åãî ðåøåíèÿ ïîëîæèì
      K = αϕ + θ .                                                        (8.3.35)
      Ïîäñòàâëÿÿ (8.3.35) â (8.3.34), ïîëó÷èì

                            α2
      θ′ = 2h − 2n cos θ − 2 .
          2                2
                                                                          (8.3.36)
                          sin θ
      Ïîëàãàÿ